【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，\( \ \mathrm {n} \ \)形半導体中の電子濃度及びキャリヤ輸送機構に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図のように，\( \ \mathrm {n} \ \)形半導体中の電子濃度\( \ n \ \)が\( \ x \ \)軸に沿って一様ではない場合，電子濃度の高い方から低い方へ向けて電子の流れが生じる。この電流を\( \ \fbox { （１） } \ \)電流と呼ぶ。この大きさが濃度勾配\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}x} \ \)に比例すると仮定すると，電流密度の式は次のように表される。
\[
\begin{eqnarray}
eD_{\mathrm {e}}\frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}x} \ \ &&································ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ただし，\( \ e \ \)は電気素量，\( \ D_{\mathrm {e}} \ \)は電子の\( \ \fbox { （１） } \ \)定数と呼ばれる比例定数である。
一方，半導体中の電界を\( \ E \ \)とすると，電界から受ける力と，散乱等による摩擦力のつり合いにより，定常状態では電子は一定の平均速度\( \ v \ \)で運動する。\( \ v \ \)と\( \ E \ \)の関係は次の式で表される。
\[
\begin{eqnarray}
v &=&-\mu _{\mathrm {e}}E \ ······························ ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ただし，\( \ \mu _{\mathrm {e}} \ \)は電子の\( \ \fbox { （２） } \ \)と呼ばれる。この場合の電流密度は，\( \ v \ \)，\( \ n \ \)及び\( \ e \ \)を用いて次の式で表される。
\[
\begin{eqnarray}
\ \fbox { （３） } \ && \ ································ ③ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
熱平衡状態においては，①式と③式で表される電流密度の和が\( \ 0 \ \)であることから，\( \ D_{\mathrm {e}} \ \)，\( \ e \ \)，\( \ E \ \)等を用いた次の式が成り立つ。
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}x} &=&- \ \fbox { （４） } \ n \ \ ······················ ④ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
電位\( \ V \ \)と電界\( \ E \ \)の関係は次のように表される。
\[
\begin{eqnarray}
E &=&-\frac {\mathrm {d}V}{\mathrm {d}x} \ \ ····························· ⑤ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
熱平衡状態における半導体中の電子のエネルギー分布をボルツマン分布と仮定すると，\( \ n \ \)と\( \ V \ \)の関係は次のように表される。
\[
\begin{eqnarray}
n &=&N_{\mathrm {F}}\mathrm {exp}\left( \frac {eV}{k_{\mathrm {B}}T}\right) \ ····················· ⑥ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ただし，\( \ T \ \)は絶対温度，\( \ k_{\mathrm {B}} \ \)はボルツマン定数であり，\( \ N_{\mathrm {F}} \ \)は定数と考えてよい。
④式に，⑤式及び⑥式を適用すると，\( \ D_{\mathrm {e}} \ \)と\( \ \mu _{\mathrm {e}} \ \)の間に次の関係があることが導かれる。
\[
\begin{eqnarray}
\frac {D_{\mathrm {e}}}{\mu _{\mathrm {e}}} &=& \ \fbox { （５） } \ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
この関係はアインシュタインの関係式と呼ばれる。
〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {k_{\mathrm {B}}T}{e} &（ロ）& 拡散 &（ハ）& -\frac {env}{2} \\[ 5pt ]
&（ニ）& 摩擦係数 &（ホ）& -env &（ヘ）& 移動度 \\[ 5pt ]
&（ト）& -\frac {nv}{e} &（チ）& 透磁率 &（リ）& ek_{\mathrm {B}}T \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {\mu _{\mathrm {e}}}{D_{\mathrm {e}}E} &（ル）& \frac {D_{\mathrm {e}}E}{\mu _{\mathrm {e}}} &（ヲ）& 再結合 \\[ 5pt ]
&（ワ）& ドリフト &（カ）& \frac {\mu _{\mathrm {e}}E}{D_{\mathrm {e}}} &（ヨ）& \frac {e}{k_{\mathrm {B}}T} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
半導体中の電子の移動に関する問題です。
移動度と電流密度の式を用い，問題文を読み解きながら解いていく問題です。前半部分は\( \ 2 \ \)種合格までに一度は学習してきた内容かと思いますので，よく考えながら解いていくようにして下さい。
1.キャリヤの移動度\( \ \mu \ \)
電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)が加わっている電界中に正孔や電子等のキャリヤがあるとすると，キャリヤの平均速度は電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)に比例した速度で動きます。その時のキャリヤの平均速度\( \ v \ \mathrm {[m / s]} \ \)は，比例定数（移動度）を\( \ \mu \ \mathrm {[m^{2} / V\cdot s]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
v &=&\mu E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
2.半導体中の電流\( \ I \ \)と電流密度\( \ J \ \)
断面積\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)の半導体に一様に電流が流れるとします。
半導体中の電子の電荷を\( \ e \ \mathrm {[C]} \ \)，電子濃度を\( \ n \ \mathrm {[m^{-3}]} \ \)，平均速度を\( \ v \ \mathrm {[m/s]} \ \)とすると，電流密度\( \ J \ \mathrm {[A/m^{2}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
J&=&evn \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& JS \\[ 5pt ]
&=& evnS \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)解答：ロ
題意より解答候補は，（ロ）拡散，（ヲ）再結合，（ワ）ドリフト，になると思います。
電子濃度の高い方から低い方へ向けて電子の流れが生じることにより流れる電流を拡散電流といいます。
(2)解答：ヘ
題意より解答候補は，（ニ）摩擦係数，（ヘ）移動度，（チ）透磁率，になると思います。
ワンポイント解説「1.キャリヤの移動度\( \ \mu \ \)」の通り，\( \ v =-\mu _{\mathrm {e}}E \ \)の関係式における\( \ \mu _{\mathrm {e}} \ \)は移動度といいます。
(3)解答：ホ
題意より解答候補は，（ハ）\( \ \displaystyle -\frac {env}{2} \ \)，（ホ）\( \ -env \ \)，（ト）\( \ \displaystyle -\frac {nv}{e} \ \)，になると思います。
ワンポイント解説「1.キャリヤの移動度\( \ \mu \ \)」の通り，電流密度\( \ J \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
J&=&-env \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
(4)解答：カ
題意の通り，熱平衡状態においては，①式と③式で表される電流密度の和が\( \ 0 \ \)であることから，
\[
\begin{eqnarray}
eD_{\mathrm {e}}\frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}x}-env&=&0 \\[ 5pt ]
eD_{\mathrm {e}}\frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}x}+en\mu _{\mathrm {e}}E&=&0 \\[ 5pt ]
eD_{\mathrm {e}}\frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}x}&=&-en\mu _{\mathrm {e}}E \\[ 5pt ]
D_{\mathrm {e}}\frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}x}&=&-n\mu _{\mathrm {e}}E \\[ 5pt ]
\frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}x}&=&-\frac {\mu _{\mathrm {e}}E}{D_{\mathrm {e}}}n \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：イ
⑥式の両辺を微分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}x} &=&\frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}V} \frac {\mathrm {d}V}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ]
&=&N_{\mathrm {F}}\frac {e}{k_{\mathrm {B}}T}\mathrm {exp}\left( \frac {eV}{k_{\mathrm {B}}T}\right) \frac {\mathrm {d}V}{\mathrm {d}x} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，⑤式を代入すれば，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}x} &=&N_{\mathrm {F}}\frac {e}{k_{\mathrm {B}}T}\mathrm {exp}\left( \frac {eV}{k_{\mathrm {B}}T}\right) \left( -E \right) \\[ 5pt ]
&=&-N_{\mathrm {F}}\frac {eE}{k_{\mathrm {B}}T}\mathrm {exp}\left( \frac {eV}{k_{\mathrm {B}}T}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。これと⑥式を，④式に代入すれば，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}n}{\mathrm {d}x}&=&-\frac {\mu _{\mathrm {e}}E}{D_{\mathrm {e}}}n \\[ 5pt ]
-N_{\mathrm {F}}\frac {eE}{k_{\mathrm {B}}T}\mathrm {exp}\left( \frac {eV}{k_{\mathrm {B}}T}\right)&=&-\frac {\mu _{\mathrm {e}}E}{D_{\mathrm {e}}}N_{\mathrm {F}}\mathrm {exp}\left( \frac {eV}{k_{\mathrm {B}}T}\right) \\[ 5pt ]
\frac {e}{k_{\mathrm {B}}T}&=&\frac {\mu _{\mathrm {e}}}{D_{\mathrm {e}}} \\[ 5pt ]
\frac {D_{\mathrm {e}}}{\mu _{\mathrm {e}}} &=&\frac {k_{\mathrm {B}}T}{e} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん