【問題】
【難易度】★★★★★（難しい）
次の文章は，単極誘導に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。ただし，時間を\( \ t \ \)，磁束密度と磁界の強さをそれぞれ\( \ \boldsymbol{B} \ \)と\( \ \boldsymbol{H} \ \)，電界を\( \ \boldsymbol{E} \ \)と表すことにする。
まず，一様な磁束密度\( \ \boldsymbol{B} \ \)の存在する空間を，\( \ \boldsymbol{B} \ \)と垂直に速度\( \ \boldsymbol{v} \ \)で動いている導体（図1）には電界\( \ \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \ \)が生じることを導く。考えている領域には電流も電荷もないものとする。電磁界で成り立つファラデーの電磁誘導の法則（微分形）は
\[
\begin{eqnarray}
&& \ \fbox { （１） } \ \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
である。磁束密度を\( \ z \ \)軸正方向，速度\( \ \boldsymbol{v} \ \)を\( \ x \ \)軸正方向とする静止直交座標において\( \ \boldsymbol{B} = (0, 0, B_z)，\boldsymbol{v} = (v_x, 0, 0) \ \)を用い，電界や磁界については，\( \ \boldsymbol{E} = (E_x, E_y, E_z) \ \)のようにベクトルの成分を表すと，①式は次のように書き換えられる。
\[
\begin{eqnarray}
&& \ \fbox { （２） } \ \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
さて，運動する導体において②式がどのように表されるか検討したい。運動座標系の位置や時間（静止座標系と同じ），電界や磁界は「\( \ {}^{\prime } \ \)」付きの量で区別して示すことにすると，空間座標\( \ x \ \)について変換式\( \ \fbox { （３） } \ \)が成立する。電磁気学の基本方程式は座標変換に対して不変であるので，\( \ ② \ \)式は全ての変数に「\( \ {}^{\prime } \ \)」を付けても変わらず成立する（これを\( \ ②^{\prime } \ \)式とする）。\( \ ②^{\prime } \ \)式に含まれる磁束密度の時間微分を変換式に基づいて変形すれば，
\[
\begin{eqnarray}
\frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial t^{\prime }} = \frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial t^{\prime }} + \frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t^{\prime }} + \frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t^{\prime }} + \frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t^{\prime }} = \frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial t} + \frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial x}v_{x} \quad \cdots \cdots ③ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。一方，\( \ ②^{\prime } \ \)式の他の項はそのままの形でよく，結局\( \ ②^{\prime } \ \)式は以下のように変形される。
\[
\begin{eqnarray}
&& \ \fbox { （４） } \ \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ④ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
これと\( \ ② \ \)式を比較すると，運動座標系と静止座標系で観測された電界の間の関係は\( \ \fbox { （５） } \ \)と表せることが分かる。これは速度\( \ \boldsymbol{v} \ \)で運動すると電界\( \ \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \ \)が生じることを意味している。
以上をもとに半径\( \ R \ \)の導電性永久磁石\( \ \mathrm {M} \ \)が中心軸\( \ \mathrm {A} \ \)（導体）の周りを一定角速度\( \ \omega \ \)で回転している場合（図2）に生じる誘導起電力を計算する。\( \ \boldsymbol{B} \ \)は永久磁石内部で軸方向成分のみを持ち，一様かつ一定である。中心軸\( \ \mathrm {A} \ \)と外周部のすべり接触子\( \ \mathrm {C_1} \ \)，\( \ \mathrm {C_2} \ \)が電圧計\( \ \mathrm {V} \ \)に接続されているが，電流は無視できるとする。
この場合，\( \ \mathrm {M} \ \)内部の各点の速度は中心軸からの距離\( \ r \ \)によって変わる。したがって起電力の大きさ\( \ U \ \)を求めるには永久磁石上面にて\( \ r = 0 \ \)から\( \ r = R \ \)まで電界を積分すればよい。\( \ U \ \)は，\( \ \boldsymbol{B} \ \)と\( \ \boldsymbol{v} \ \)が直交するので次式のようにして計算できる。
\[
\begin{eqnarray}
U &=&\int_0^R |\boldsymbol{v}||\boldsymbol{B}| \mathrm {d}r = \int_0^R r\omega |\boldsymbol{B}| \mathrm {d}r = \ \fbox { （６） } \ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& x^{\prime }= x + v_{x} t &（ロ）& E^{\prime }_{y} + v_{x} B^{\prime }_{z} = E_{y} &（ハ）& \nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\[ 5pt ]
&（ニ）& \frac{\omega R^{3} |\boldsymbol{B}|}{3} &（ホ）& \frac{\partial H_{y}}{\partial x} – \frac{\partial H_{x}}{\partial y} = 0 &（ヘ）& x^{\prime }= x – v_{x} t \\[ 5pt ]
&（ト）& E^{\prime }_{y} – v_{x} B^{\prime }_{z} = E_{y} &（チ）& \nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{0} &（リ）& \frac{\partial B_{y}}{\partial x} – \frac{\partial B_{x}}{\partial y} = 0 \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0 &（ル）& \frac{\partial E_{x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{y}}{\partial y} = 0 &（ヲ）& \frac{\omega R^2 |\boldsymbol{B}|}{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
&（ワ）& \frac{\partial E_{y}}{\partial x} – \frac{\partial E_{x}}{\partial y} = -\frac{\partial B_{z}}{\partial t} &（カ）& \frac{\partial E_{x}}{\partial x} + \frac{\partial (E^{\prime }_y + v_{x} B^{\prime }_{z})}{\partial y} = 0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
&（ヨ）& \frac{\partial}{\partial x}\left( E^{\prime }_{y} + v_{x} B^{\prime }_{z}\right) – \frac{\partial E^{\prime }_{x}}{\partial y} = -\frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
単極誘導に関する問題です。
数学の\( \ \mathrm {rot} \ \)（回転）とファラデーの電磁誘導の法則の微分形を知っていないと歯が立たない問題で，さらに問題文を読み解きながら解いていく必要があります。
専門性は高いですが，高度な勉強の自己啓発としてはとても良い問題かと思います。
1.\( \ \mathrm {grad} \ \)(勾配)
数学における\( \ \mathrm {grad} \ \)(勾配)は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {grad} V&=&\nabla V
&=&\left( \frac { \partial V}{ \partial x },\frac { \partial V}{ \partial y },\frac { \partial V}{ \partial z }\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で定義されます。\( \ \nabla \ \)は数学で\( \ \displaystyle \nabla =\frac { \partial }{ \partial x }\boldsymbol i+\frac { \partial }{ \partial y }\boldsymbol j+\frac { \partial }{ \partial z }\boldsymbol k \ \)で定義される演算子です。
(\( \ \boldsymbol i \ \)，\( \ \boldsymbol j \ \)，\( \ \boldsymbol k \ \)は\( \ x \ \)軸，\( \ y \ \)軸，\( \ z \ \)軸の単位ベクトルです)
2.\( \ \mathrm {div} \ \)（発散）
数学における\( \ \mathrm {div} \ \)（発散）は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {div} \boldsymbol E&=&\frac { \partial E_{\mathrm {x}}}{ \partial x }+\frac { \partial E_{\mathrm {y}}}{ \partial y } +\frac { \partial E_{\mathrm {z}}}{ \partial z } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で定義され，内積を用いて表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {div} \boldsymbol E &=& \nabla \cdot \boldsymbol E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.\( \ \mathrm {rot} \ \)（回転）
数学における\( \ \mathrm {rot} \ \)（回転）は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {rot} \boldsymbol E&=&\left( \frac { \partial E_{\mathrm {z}}}{ \partial y }-\frac { \partial E_{\mathrm {y}}}{ \partial z }，\frac { \partial E_{\mathrm {x}}}{ \partial z }-\frac { \partial E_{\mathrm {z}}}{ \partial x }，\frac { \partial E_{\mathrm {y}}}{ \partial x }-\frac { \partial E_{\mathrm {x}}}{ \partial y }\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で定義され，外積を用いて表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {rot} \boldsymbol E &=& \nabla \times \boldsymbol E \\[ 5pt ]
&=& \begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ \displaystyle \frac { \partial }{ \partial x } & \displaystyle \frac { \partial }{ \partial y } & \displaystyle \frac { \partial }{ \partial z } \\ E_{\mathrm {x}} & E_{\mathrm {y}} & E_{\mathrm {z}} \end{vmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
4.マクスウェル方程式（微分形）
電磁気における各性質を４つの式にまとめたものです。
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {div} \boldsymbol D &=&\rho &⇔& \nabla \cdot \boldsymbol D &=&\rho \\[ 5pt ]
\mathrm {div} \boldsymbol B &=&0 &⇔& \nabla \cdot \boldsymbol B &=&0 \\[ 5pt ]
\mathrm {rot} \boldsymbol H &=&i+\displaystyle \frac { \partial \boldsymbol D}{ \partial t } &⇔& \nabla \times \boldsymbol H &=&i+\displaystyle \frac { \partial \boldsymbol D}{ \partial t } \\[ 5pt ]
\mathrm {rot} \boldsymbol E &=&-\displaystyle \frac { \partial \boldsymbol B}{ \partial t } &⇔& \nabla \times \boldsymbol E &=&-\displaystyle \frac { \partial \boldsymbol B}{ \partial t } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【解答】
(1)解答：ハ
ワンポイント解説「4.マクスウェル方程式（微分形）」の通り，電磁界で成り立つファラデーの電磁誘導の法則（微分形）は，
\[
\begin{eqnarray}
\nabla \times \boldsymbol{E} &=& -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ワ
(1)解答式を計算すると，ワンポイント解説「3.\( \ \mathrm {rot} \ \)（回転）」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\left( \frac { \partial E_{z}}{ \partial y }-\frac { \partial E_{y}}{ \partial z },\frac { \partial E_{x}}{ \partial z }-\frac { \partial E_{z}}{ \partial x },\frac { \partial E_{y}}{ \partial x }-\frac { \partial E_{x}}{ \partial y }\right) &=&\left( 0,0, -\frac{\partial B_{z}}{\partial t}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ z \ \)成分において，
\[
\begin{eqnarray}
\frac { \partial E_{y}}{ \partial x }-\frac { \partial E_{x}}{ \partial y } &=&-\frac{\partial B_{z}}{\partial t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が成立する。
(3)解答：ヘ
静止座標系において導体は\( \ v_{x}t \ \)で\( \ +x \ \)方向に進んでいるので，運動座標系の導体からみた空間は\( \ v_{x}t \ \)で\( \ -x \ \)方向に進んでいると考えればよい。したがって，
\[
\begin{eqnarray}
x^{\prime }&=& x – v_{x} t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が成立する。
(4)解答：ヨ
題意の通り，\( \ ② \ \)式は全ての変数に「\( \ {}^{\prime } \ \)」を付けても変わらず成立するので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac { \partial E^{\prime }_{y}}{ \partial x^{\prime } }-\frac { \partial E^{\prime }_{x}}{ \partial y^{\prime } } &=&-\frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial t^{\prime }} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，(3)解答式より，
\[
\begin{eqnarray}
\frac { \partial }{ \partial x^{\prime } } &=&\frac { \partial }{ \partial x } \\[ 5pt ]
\frac { \partial }{ \partial y^{\prime } } &=&\frac { \partial }{ \partial y } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が成立し，これと③より，
\[
\begin{eqnarray}
\frac { \partial E^{\prime }_{y}}{ \partial x^{\prime } }-\frac { \partial E^{\prime }_{x}}{ \partial y^{\prime } } &=&-\frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial t^{\prime }} \\[ 5pt ]
\frac { \partial E^{\prime }_{y}}{ \partial x }-\frac { \partial E^{\prime }_{x}}{ \partial y } &=&-\left( \frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial t} + \frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial x}v_x\right) \\[ 5pt ]
\frac { \partial E^{\prime }_{y}}{ \partial x }+ \frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial x}v_{x}-\frac { \partial E^{\prime }_{x}}{ \partial y } &=&- \frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial t} \\[ 5pt ]
\frac{\partial}{\partial x}\left( E^{\prime }_{y} + v_{x} B^{\prime }_{z}\right) – \frac{\partial E^{\prime }_{x}}{\partial y} &=& -\frac{\partial B^{\prime }_{z}}{\partial t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ロ
(2)及び(4)解答式を比較すると，電界の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{y} &=&E^{\prime }_{y} + v_{x} B^{\prime }_{z} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(6)解答：ヲ
題意の通り，
\[
\begin{eqnarray}
U &=& \int_0^R r\omega |\boldsymbol{B}| \mathrm {d}r \\[ 5pt ]
&=& \omega |\boldsymbol{B}|\left[ \frac {r^{2}}{2}\right] _0^R \\[ 5pt ]
&=& \frac {\omega R^2 |\boldsymbol{B}|}{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん