《機械》〈同期機〉[R08:問1]三相同期発電機の短絡比に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，三相同期機に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

三相同期発電機の電機子端子を三相短絡し，定格回転数で運転したときの界磁電流と電機子短絡電流の関係を示したものが短絡特性曲線である。この電機子短絡電流は$ \ \fbox {　（１）　} \ $ともいう。

定格容量$ \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ $，定格電圧$ \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ $の発電機において，無負荷誘導起電力が定格電圧となる界磁電流の条件での電機子短絡電流を$ \ I_{\mathrm {s1}} \ \mathrm {[A]} \ $とすると，短絡比$ \ K_{\mathrm {SCR}} \ $は$ \ \fbox {　（２）　} \ $となる。また，同期インピーダンス$ \ Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $と短絡比$ \ K_{\mathrm {SCR}} \ $の関係は$ \ Z_{\mathrm {s}}= \ \fbox {　（３）　} \ $で表される。

発電機において定格容量$ \ 17 \ \mathrm {MV\cdot A} \ $，定格電圧$ \ 6.6 \ \mathrm {kV} \ $，定格力率$ \ 0.9 \ $（遅れ），短絡比$ \ 1.2 \ $であるとき，電機子抵抗を無視し，磁気飽和による同期リアクタンスの変化はないものとすれば，その電圧の変動率$ \ \mathrm {[％]} \ $を求めると$ \ \fbox {　（４）　} \ $になる。ここで，ある発電機の設計の際に界磁磁束を一定とすると，例えば$ \ \fbox {　（５）　} \ $することで電圧の変動率を低くすることができる。

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}}{S}I_{\mathrm {s1}}　　　　　&（ロ）&　\frac {S}{\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {s1}}}　　　　　　　&（ハ）&　\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}S}I_{\mathrm {s1}} \\[ 5pt ] &（ニ）&　短絡比を小さく　　　　　&（ホ）&　突発短絡電流　　　　　&（ヘ）&　\frac {{V_{\mathrm {n}}}^{2}}{K_{\mathrm {SCR}}S} \\[ 5pt ] &（ト）&　35.7 \ ％　　　　　&（チ）&　28.5 \ ％　　　　　&（リ）&　界磁巻線の巻数を増加 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {S}{K_{\mathrm {SCR}}{V_{\mathrm {n}}}^{2}}　　　　　&（ル）&　\frac {1}{K_{\mathrm {SCR}}}　　　　　&（ヲ）&　エアギャップを大きく \\[ 5pt ] &（ワ）&　条件付短絡電流　　　　　　&（カ）&　55.6 \ ％　　　　　&（ヨ）&　持続短絡電流 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

三相同期発電機の短絡比に関連する計算問題と知識を問われている問題です。
短絡比は$ \ 2 \ $種まででも学習してきた内容と思いますので，(4)までの内容は確実に正答しておきたい問題，(5)はここでしっかりと理解したい問題となります。

1.同期発電機の等価回路
同期発電機の一相分等価回路は誘導起電力（相電圧）$ \ {\dot E}_{0} \ \mathrm {[V]} \ $，端子電圧（相電圧）$ \ \dot E \ \mathrm {[V]} \ $，同期リアクタンス$ \ x_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $，電機子巻線抵抗$ \ r_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $とすると，図1のようになります。
通常，電機子巻線抵抗$ \ r_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $は十分に小さいと考え，無視して考えることが一般的です。
また，等価回路よりベクトル図は図2のようになります。ただし，$ \ \theta \ $は力率角，$ \ \delta \ $は負荷角です。

2.同期発電機の出力
同期発電機のベクトル図は誘導起電力（相電圧）$ \ {\dot E}_{0} \ \mathrm {[V]} \ $，端子電圧（相電圧）$ \ \dot E \ \mathrm {[V]} \ $，同期リアクタンス$ \ x_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $，力率角$ \ \theta \ $，負荷角$ \ \delta \ $とすると図3のようになり，このベクトル図において，①線を求める式より，
\[
\begin{eqnarray}
E_{0}\sin \delta &=&x_{\mathrm {s}}I \cos \theta \\[ 5pt ] I \cos \theta &=&\frac {E_{0}\sin \delta }{x_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，三相同期発電機の出力は$ \ P=3EI\cos \theta \ \mathrm {[W]} \ $で求められるので，これに上式を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&3EI\cos \theta \\[ 5pt ] &=&\frac {3E_{0}E\sin \delta }{x_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この$ \ 2 \ $式はどちらも公式として覚えておきましょう。

3.同期発電機の無負荷飽和曲線と三相短絡曲線
同期発電機は図4のような無負荷飽和曲線と三相短絡曲線の特性があります。図中の$ \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ $は定格電圧，$ \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ $は定格電流，三相短絡曲線は曲線ですが，ほぼ比例の直線と近似できます。
この時，$ \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ $は定格電圧時の三相短絡電流であり，短絡比$ \ K \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
K &=& \frac {I_{\mathrm {s}}}{I_{\mathrm {n}}}=\frac {I_{\mathrm {f1}}}{I_{\mathrm {f2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

4.単位法におけるインピーダンスと短絡比の関係
同期発電機の単位法における同期インピーダンスが$ \ Z \ \mathrm {[p.u.]} \ $，短絡比が$ \ K \ $であるとき，その関係は，
\[
\begin{eqnarray}
K&=&\frac {1}{Z} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

※単位法の定義式等を用いて$ \ \displaystyle I_{\mathrm {s}}=\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $から上式を求めることはできますが，試験時では暗記しておいた方が良いと思います。
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}}&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}{Z \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ] \frac {I_{\mathrm {s}}}{I_{\mathrm {n}}}&=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] K&=&\frac {1}{Z} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

(1)解答：ヨ
題意より解答候補は，（ホ）突発短絡電流，（ワ）条件付短絡電流，（ヨ）持続短絡電流，になると思います。
短絡特性曲線における電機子短絡電流は持続短絡電流といいます。名称ですので覚えておくようにして下さい。

(2)解答：イ
定格電流$ \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {n}}&=&\frac {S}{\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，短絡比$ \ K_{\mathrm {SCR}} \ $は，ワンポイント解説「3.同期発電機の無負荷飽和曲線と三相短絡曲線」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
K_{\mathrm {SCR}}&=&\frac {I_{\mathrm {s1}}}{I_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {I_{\mathrm {s1}}}{\displaystyle \frac {S}{\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}}{S}I_{\mathrm {s1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ヘ
ワンポイント解説「4.単位法におけるインピーダンスと短絡比の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[p.u.]} \ &=&\frac {1}{K_{\mathrm {SCR}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，$ \ \displaystyle Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[p.u.]} \ =\frac {SZ_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} }{{V_{\mathrm {n}}}^{2}} \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {SZ_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} }{{V_{\mathrm {n}}}^{2}} &=&\frac {1}{K_{\mathrm {SCR}}} \\[ 5pt ] Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ &=&\frac {{V_{\mathrm {n}}}^{2}}{K_{\mathrm {SCR}}S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：カ
短絡比$ \ K_{\mathrm {SCR}}=1.2 \ $で電機子抵抗は無視できるので，同期リアクタンス$ \ X_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[p.u.]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
X_{\mathrm {s}} &=&\frac {1}{K_{\mathrm {SCR}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{1.2} \\[ 5pt ] &≒&0.833 \ 33 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，$ \ \sin \theta \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1-0.9^{2}} \\[ 5pt ] &≒&0.435 \ 89 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。発電機の端子電圧（相電圧）を基準とすると，$ \ \dot I=I\left( \cos \theta -\mathrm {j}\sin \theta \right) \ $と表されるから，誘導起電力$ \ \dot E \ \mathrm {[p.u.]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\dot E &=&{\dot V}_{\mathrm {n}}+\mathrm {j}X_{\mathrm {s}}\dot I \\[ 5pt ] &=&V_{\mathrm {n}}+\mathrm {j}X_{\mathrm {s}}I\left( \cos \theta -\mathrm {j}\sin \theta \right) \\[ 5pt ] &=&1+\mathrm {j}0.833 \ 33 \times 1 \times \left( 0.9 -\mathrm {j}0.435 \ 89 \right) \\[ 5pt ] &≒&1.363 \ 2+0.750 \ 00 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，その大きさは$ \ E \ \mathrm {[p.u.]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\sqrt {{1.363 \ 2}^{2}+{0.750 \ 00}^{2}} \\[ 5pt ] &≒&1.555 \ 9 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，電圧変動率$ \ \varepsilon \ \mathrm {[％]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon &=&\frac {E-V_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {1.555 \ 9-1}{1}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&55.6 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ヲ
題意より解答候補は，（ニ）短絡比を小さく，（リ）界磁巻線の巻数を増加，（ヲ）エアギャップを大きく，になると思います。
(4)より，電圧変動率$ \ \varepsilon \ $を小さくするためには，誘導起電力$ \ E \ $を小さくする必要があり，$ \ \dot E ={\dot V}_{\mathrm {n}}+\mathrm {j}X_{\mathrm {s}}\dot I \ $の関係より，同期リアクタンス$ \ X_\mathrm{s} \ $を小さくする，すなわち短絡比$ \ K_{\mathrm {SCR}} \ $を大きくする必要があります。同期発電機のエアギャップを大きくすると，磁路の磁気抵抗が増加して電機子反作用磁束が生じにくくなります。その結果，電機子反作用リアクタンス（同期リアクタンス$ \ X_\mathrm{s} \ $）が減少し，短絡比$ \ K_{\mathrm {SCR}} \ $が大きくなるため，電圧変動率を抑制することができます。