《理論》〈電気回路〉[H27:問6] 分布定数回路に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，分布定数回路に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図のように，特性インピーダンスがそれぞれ$ \ Z_{1} \ $，$ \ Z_{2} \ $の2本の無損失線路と抵抗が接続されている。線路間に電気的・磁気的結合はなく，また，$ \ \mathrm {A} \ $，$ \ \mathrm {B} \ $それぞれの端子では反射がないものとする。

$ \ \mathrm {A} \ $端子から接続点$ \ \mathrm {C} \ $に向かって波頭が階段状で波高値$ \ E \ $の電圧波が進入したときについて考える。$ \ \mathrm {A} \ $端子からの入射波による電流$ \ i \ $，接続点$ \ \mathrm {C} \ $での反射により生じる電圧$ \ E_{1} \ $，電流$ \ i_{1} \ $，それぞれの抵抗に流れる電流$ \ i_{3} \ $，$ \ i_{4} \ $，$ \ Z_{2} \ $側への透過波による電圧$ \ E_{2} \ $，電流$ \ i_{2} \ $を図のようにとる。電流は入射波が接続点$ \ \mathrm {C} \ $に向かって進行する方向及び透過波が接続点$ \ \mathrm {D} \ $から離れる方向を正とする。

接続点$ \ \mathrm {C} \ $の電圧，電流の関係はそれぞれ次式で表される。
\[
\begin{eqnarray}
&&E+E_{1}=\fbox {　（１）　}　&・・・・・・・　①& \\[ 5pt ] &&i+i_{1}=i_{3}=i_{2}+i_{4}　&・・・・・・・　②& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ①式及び②式と，$ \ E_{1}=-Z_{1}i_{1} \ $であることを考慮すれば，$ \ i_{2}= \ \fbox {　（２）　} \ \times i_{3} \ $となる。

ここで，接続点$ \ \mathrm {C} \ $より$ \ \mathrm {B} \ $側を見たインピーダンスを$ \ Z \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
E+E_{1}=Zi_{3}　&・・・・・・・　③& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。$ \ i_{1} \ $を$ \ i \ $，$ \ Z_{1} \ $，$ \ Z \ $を用いて表すと，
\[
\begin{eqnarray}
i_{1}=\fbox {　（３）　} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。$ \ E_{2} \ $は$ \ E \ $，$ \ Z_{1} \ $，$ \ R_{1} \ $，$ \ Z \ $を用いて，
\[
\begin{eqnarray}
E_{2}=\fbox {　（４）　} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで，$ \ \displaystyle E_{1}=\frac {1}{2}E \ $となるときの抵抗$ \ R_{1} \ $を$ \ Z_{1} \ $，$ \ Z_{2} \ $，$ \ R_{2} \ $を用いて表すと，$ \ R_{1}= \ \fbox {　（５）　} \ $となる。

$ \ i_{1} \ $，$ \ E_{1} \ $は反射波のみとする。
電流は$ \ \mathrm {A→C} \ $，$ \ \mathrm {C→B} \ $，$ \ \mathrm {D→} \ $接地の向きを正とする。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {2\left( Z_{1}-R_{1}\right) }{Z_{1}-Z}E　　　　　&（ロ）&　\frac {Z_{1}+Z}{Z-Z_{1}}i　　　　　&（ハ）&　R_{1}i_{3}+E_{2} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}}　　　　　&（ホ）&　\frac {Z_{1}+Z}{Z_{1}-Z}i　　　　&（ヘ）&　\frac {Z_{1}-Z}{Z_{1}+Z}i \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {R_{2}}{R_{2}+Z_{2}} 　　　　　&（チ）&　\frac {1}{3}Z_{1}-\frac {R_{2}Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}} 　　　　　&（リ）&　\frac {2\left( Z-R_{1}\right) }{Z-Z_{1}}E \\[ 5pt ] &（ヌ）&　E_{2}　　　　　&（ル）&　R_{1}i_{3}　　　　　&（ヲ）&　\frac {2\left( Z-R_{1}\right) }{Z_{1}+Z}E \\[ 5pt ] &（ワ）&　Z_{1}-\frac {R_{2}Z_{2}}{3\left( R_{2}+Z_{2}\right) }　　　　　&（カ）&　\frac {Z_{2}}{R_{1}+Z_{2}}　　　　　&（ヨ）&　3Z_{1}-\frac {R_{2}Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

一種受験者であれば，連立方程式を立てることはそれほど難しくはないと思いますが，連立方程式を立ててからの計算が苦労すると思います。連立方程式が解ければ問題ないですが，なかなか解答が導けない場合は問7を選択する決断も考えた方が良いと思います。

【解答】

(1)解答：ハ
接続点$ \ \mathrm {D} \ $の電圧が$ \ E_{2} \ $，抵抗$ \ R_{1} \ $を流れる電流が$ \ i_{3} \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
E+E_{1}&=&R_{1}i_{3}+E_{2}　・・・・・・・　① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(2)解答：ト
\[
\begin{eqnarray}
E_{2}&=&Z_{2}i_{2}=R_{2}i_{4} \\[ 5pt ] i_{4}&=&\frac {Z_{2}}{R_{2}}i_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，これを②に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
i_{3}&=&i_{2}+i_{4} \\[ 5pt ] i_{3}&=&i_{2}+\frac {Z_{2}}{R_{2}}i_{2} \\[ 5pt ] i_{3}&=&\frac {R_{2}+Z_{2}}{R_{2}}i_{2} \\[ 5pt ] i_{2}&=&\frac {R_{2}}{R_{2}+Z_{2}}i_{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ヘ
$ \ E=Z_{1}i \ $，$ \ E_{1}=-Z_{1}i_{1} \ $と②を③に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
E+E_{1}&=&Zi_{3} \\[ 5pt ] Z_{1}i-Z_{1}i_{1}&=&Z\left( i+i_{1}\right) \\[ 5pt ] Z_{1}i-Z_{1}i_{1}&=&Zi+Zi_{1} \\[ 5pt ] i_{1}&=&\frac {Z_{1}-Z}{Z_{1}+Z}i \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヲ
②と(3)解答より，
\[
\begin{eqnarray}
i_{3}&=&i+i_{1} \\[ 5pt ] &=&i+\frac {Z_{1}-Z}{Z_{1}+Z}i \\[ 5pt ] &=&\frac {2Z_{1}}{Z_{1}+Z}i \\[ 5pt ] &=&\frac {2E}{Z_{1}+Z} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これと$ \ E+E_{1}=Zi_{3} \ $を①に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{2}&=&E+E_{1}-R_{1}i_{3} \\[ 5pt ] &=&Zi_{3}-R_{1}i_{3} \\[ 5pt ] &=&\left( Z-R_{1}\right) i_{3} \\[ 5pt ] &=&\left( Z-R_{1}\right) \frac {2E}{Z_{1}+Z} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\left( Z-R_{1}\right) }{Z_{1}+Z}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ヨ
$ \ \displaystyle E_{1}=\frac {1}{2}E \ $，(4)の解答を①に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
E+E_{1}&=&R_{1}i_{3}+E_{2} \\[ 5pt ] E+\frac {1}{2}E&=&R_{1}\frac {2E}{Z_{1}+Z}+\frac {2\left( Z-R_{1}\right) }{Z_{1}+Z}E \\[ 5pt ] \frac {3}{2}E&=&\frac {2ZE}{Z_{1}+Z} \\[ 5pt ] Z&=&3Z_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで，題意より，接続点$ \ \mathrm {C} \ $より$ \ \mathrm {B} \ $側を見たインピーダンスが$ \ Z \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
Z&=&R_{1}+\frac {R_{2}Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}} \\[ 5pt ] R_{1}&=&Z-\frac {R_{2}Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}} \\[ 5pt ] &=&3Z_{1}-\frac {R_{2}Z_{2}}{R_{2}+Z_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。