【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，\( \ \mathrm {RC} \ \)回路の過渡現象に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図のように，一次側と二次側に直流電圧源\( \ E \ \)が接続された抵抗\( \ R \ \)と静電容量\( \ C \ \)，スイッチからなる回路を考える。時刻\( \ t＜0 \ \)ではスイッチは開いており，回路は定常状態にあるものとする。時刻\( \ t=0 \ \)でスイッチを閉じた。
節点\( \ \mathrm {a} \ \)と節点\( \ \mathrm {b} \ \)において，キルヒホッフの電流則を適用すると，\( \ t≧0 \ \)で静電容量\( \ C \ \)を流れる電流\( \ i \left( t\right) \ \)と三つの抵抗\( \ R \ \)をそれぞれ流れる電流\( \ i_{1} \left( t\right) \ \)，\( \ i_{2} \left( t\right) \ \)，\( \ i_{3} \left( t\right) \ \)との関係は，
\[
\begin{eqnarray}
i \left( t\right) &=&i_{1} \left( t\right) + \ \fbox { （１） } \ ····················· ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。①式の左辺に静電容量\( \ C \ \)の電圧\( \ v \left( t\right) \ \)と電流\( \ i \left( t\right) \ \)の関係式\( \ \displaystyle i \left( t\right) =C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) \ \)を代入し，右辺を\( \ v \left( t\right) \ \)と\( \ E \ \)の式に書き直すと，
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) &=& \ \fbox { （２） } \ ························ ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
を得る。回路の初期条件から\( \ v \left( t\right) \ \)の初期値\( \ v \left( 0\right) \ \)を決定すると，②式の解は，
\[
\begin{eqnarray}
v \left( t\right) &=& \ \fbox { （３） } \ ···························· ③ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。
このとき，節点\( \ \mathrm {a} \ \)と節点\( \ \mathrm {b} \ \)の電位に注意すると，直流電圧源\( \ E \ \)から流れる電流\( \ i_{1} \left( t\right) \ \)と\( \ i_{2} \left( t\right) \ \)は，\( \ t=0 \ \)では\( \ \fbox { （４） } \ \)であり，①式より静電容量\( \ C \ \)の電流\( \ i \left( t\right) \ \)は，\( \ t=0 \ \)では\( \ i \left( 0\right) =\fbox { （５） } \ \)となることが分かる。
〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& i_{1}\left( 0\right) =i_{2}\left( 0\right) =0 &（ロ）& -\frac {3}{R}v \left( t\right) +\frac {3E}{R} &（ハ）& E\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}+\frac {2E}{3}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}\right) \\[ 5pt ]
&（ニ）& i_{1}\left( 0\right) =i_{2}\left( 0\right) =\frac {E}{3R} &（ホ）& -\frac {E}{R} &（ヘ）& \frac {E}{3}\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}+E\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}\right) \\[ 5pt ]
&（ト）& i_{3}\left( t\right) -i_{2}\left( t\right) &（チ）& i_{2}\left( t\right) +i_{3}\left( t\right) &（リ）& \frac {E}{2}\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}+\frac {E}{3}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}\right) \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {E}{3R} &（ル）& -\frac {3}{R}v \left( t\right) +\frac {E}{R} &（ヲ）& -\frac {3}{R}v \left( t\right) +\frac {2E}{R} \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {2E}{3R} &（カ）& i_{2}\left( t\right) -i_{3}\left( t\right) &（ヨ）& i_{1}\left( 0\right) =0 \ かつ \ i_{2}\left( 0\right) =\frac {E}{2R} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
\( \ \mathrm {RC} \ \)回路の過渡現象に関する問題です。
(3)の計算量が少し多く語群から正答が見つけにくいのと(4)の内容がスイッチを閉じる前か後かが分かりにくいので，少し受験生を悩ませたかなという問題です。
解法自体はそれほど難しくありませんので，内容はきちんと理解するようにして下さい。
1.過渡現象における\( \ RLC \ \)それぞれの電圧
線路に流れる電流を\( \ i \ \)とし，抵抗\( \ R \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{R}} \ \)，リアクトル\( \ L \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{L}} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{C}} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm{R}} &=& Ri \\[ 5pt ]
V_{\mathrm{L}} &=& L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
V_{\mathrm{C}} &=& \frac {1}{C}\int i \mathrm {d}t =\frac {q}{C}\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ．定常解を\( \ i_{\mathrm {s}} \ \)，過渡解を\( \ i_{\mathrm {t}} \ \)とすると，電流値\( \ i \ \)は\( \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ \)となります。
ⅱ．定常解は電流の時間変化のない状態すなわち\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ \)とした時の解です。
ⅲ．過渡解はスイッチを入れた直後の解です。
3.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \left ( \ln {x} \right) &=&\frac {1}{x} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②自然対数の積分
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{x} \mathrm {d}x&=&\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
\ln {x} &=&-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right)の時， x=A\mathrm {e}^{-\alpha t} \left( A=\mathrm {e}^{C}\right)となります。 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【解答】
(1)解答：カ
キルヒホッフの電流則より，
\[
\begin{eqnarray}
i_{1}\left( t \right) &=&i\left( t \right) +i_{\mathrm {ab}}\left( t \right) &⇔& i_{\mathrm {ab}}\left( t \right) &=&i_{1}\left( t \right)-i\left( t \right) \\[ 5pt ]
i_{3}\left( t \right) &=&i_{2}\left( t \right) +i_{\mathrm {ab}}\left( t \right) &⇔& i_{\mathrm {ab}}\left( t \right) &=&i_{3}\left( t \right)-i_{2}\left( t \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから\( \ i_{\mathrm {ab}}\left( t \right) \ \)を消去すると，
\[
\begin{eqnarray}
i_{1}\left( t \right)-i\left( t \right) &=&i_{3}\left( t \right)-i_{2}\left( t \right) \\[ 5pt ]
i\left( t \right) &=&i_{1}\left( t \right)+i_{2}\left( t \right)-i_{3}\left( t \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ヲ
図1の閉回路１についてキルヒホッフの法則を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&Ri_{1}\left( t \right) +v\left( t \right) \\[ 5pt ]
i_{1}\left( t \right) &=&\frac {E-v\left( t \right)}{R} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，同様に閉回路２及び閉回路３についてもキルヒホッフの法則を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
v\left( t \right) &=&Ri_{3}\left( t \right) \\[ 5pt ]
i_{3}\left( t \right) &=&\frac {v\left( t \right)}{R} \\[ 5pt ]
E &=&Ri_{2}\left( t \right) +Ri_{3}\left( t \right) \\[ 5pt ]
&=&Ri_{2}\left( t \right) +v\left( t \right) \\[ 5pt ]
i_{2}\left( t \right) &=&\frac {E-v\left( t \right) }{R} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ \displaystyle i \left( t\right) =C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) \ \)とともに①式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
i\left( t \right) &=&i_{1}\left( t \right)+i_{2}\left( t \right)-i_{3}\left( t \right) \\[ 5pt ]
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) &=&\frac {E-v\left( t \right)}{R}+\frac {E-v\left( t \right)}{R}-\frac {v\left( t \right)}{R} \\[ 5pt ]
&=&-\frac {3}{R}v \left( t\right) +\frac {2E}{R} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ハ
(2)解答式\( \ \displaystyle C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) =-\frac {3}{R}v \left( t\right) +\frac {2E}{R} \ \)について，定常解を\( \ v_{\mathrm {s}}\left( t\right) \ \)とすると，ワンポイント解説「2.過渡現象における定常解と過渡解」の通り\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v \left( t\right) = 0 \ \)とすればよいので，
\[
\begin{eqnarray}
0 &=&-\frac {3}{R}v_{\mathrm {s}}\left( t\right) +\frac {2E}{R} \\[ 5pt ]
\frac {3}{R}v_{\mathrm {s}}\left( t\right) &=&\frac {2E}{R} \\[ 5pt ]
v_{\mathrm {s}}\left( t\right) &=&\frac {2E}{3} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，過渡解を\( \ v_{\mathrm {t}}\left( t\right) \ \)とすると，ワンポイント解説「2.過渡現象における定常解と過渡解」の通り\( \ E= 0 \ \)とすればよいので，
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {t}} \left( t\right) &=&-\frac {3}{R}v_{\mathrm {t}} \left( t\right) \\[ 5pt ]
\frac {\mathrm {d}v_{\mathrm {t}} \left( t\right) }{v_{\mathrm {t}} \left( t\right) }&=&-\frac {3}{CR}\mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\int \frac {\mathrm {d}v_{\mathrm {t}} \left( t\right) }{v_{\mathrm {t}} \left( t\right) }&=&\int -\frac {3}{CR}\mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\ln v_{\mathrm {t}} \left( t\right) &=&-\frac {3}{CR}t+C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ]
v_{\mathrm {t}} \left( t\right) &=&A\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t} \left( A=\mathrm {e}^{C}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，一般解\( \ v\left( t\right) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
v\left( t\right) &=&v_{\mathrm {s}}\left( t\right) +v_{\mathrm {t}} \left( t\right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {2E}{3}+A\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められ，初期条件は\( \ t=0 \ \)におけるコンデンサ電圧であるから\( \ v\left( 0 \right) =E \ \)となり，
\[
\begin{eqnarray}
v\left( 0\right) &=&\frac {2E}{3}+A\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}\times 0} \\[ 5pt ]
E &=&\frac {2E}{3}+A \\[ 5pt ]
A &=&\frac {E}{3} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，
\[
\begin{eqnarray}
v\left( t\right)&=&\frac {2E}{3}+\frac {E}{3}\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2E}{3}+E\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}-\frac {2E}{3}\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t} \\[ 5pt ]
&=&E\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}+\frac {2E}{3}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {3}{CR}t}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：イ
スイッチを閉じた直後の電流\( \ i_{1} \left( 0\right) \ \)と\( \ i_{2} \left( 0\right) \ \)は，節点\( \ \mathrm {a} \ \)と節点\( \ \mathrm {b} \ \)の電位が共に\( \ E \ \)となるので，
\[
\begin{eqnarray}
i_{1} \left( 0\right) =i_{2} \left( 0\right) =0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ホ
スイッチを閉じた直後の節点\( \ \mathrm {b} \ \)の電位が\( \ E \ \)であることから，
\[
\begin{eqnarray}
i_{3}\left( 0 \right) &=&\frac {E}{R} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これと(4)解答式を①式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
i\left( 0 \right) &=&i_{1}\left( 0 \right)+i_{2}\left( 0 \right)-i_{3}\left( 0 \right) \\[ 5pt ]
&=&0+0-\frac {E}{R} \\[ 5pt ]
&=&-\frac {E}{R} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん