《理論》〈電子理論〉[R04:問6]真空中において交流電界から力を受けた電子の運動に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，真空中において交流電界から力を受けた電子の運動に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

真空中で図のように，位置\( \ x=-d \ \)の電子源から電子が初速度\( \ v_{\mathrm {i}} \ \)で一定の時間間隔\( \ \Delta t \ \) ごとに\( \ x \ \)軸の正方向に次々と放出されている状況を考える。\( \ n \ \)番目に放出される電子の放出時刻を\( \ t=n\Delta t \ \)と定義する。ただし，\( \ n=0,1,2, … \ \)である。また，電子間に働くクーロン反発などの相互作用は無視し，電子の質量は一定とする。

領域\( \ \mathrm {A}\left( -d≦x≦0\right) \ \)には，\( \ x \ \)軸の負方向に\( \ E=E_{0}\sin \left( \omega t\right) \ \)の電界が印加されており，電子の電荷を\( \ -e\left( e＞0\right) \ \)とすると，電子は電界から力を受けて運動する。電子の質量を\( \ m \ \)とすると，運動の第\( \ 2 \ \)法則より電子の速度\( \ v \ \)に関して，次の方程式が成り立つ。
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} &=& \ \fbox {　 （１） 　} \ \sin \left( \omega t\right) 　······························　① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 電子が領域\( \ \mathrm {A} \ \)を通過する時間が十分短いとみなせる場合，電子が領域\( \ \mathrm {A} \ \)の右端\( \ \left( x=0\right) \ \)に到達した際の速度\( \ v_{x0} \ \)は，通過時間\( \ \delta t \ \)を用いて次のように表される。
\[
\begin{eqnarray}
v_{x0} &=& v_{\mathrm {i}}+\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t}\delta t　····································　② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] したがって，\( \ n \ \)番目に放出された電子の\( \ x=0 \ \)における速度\( \ v_{n} \ \)は，①式に\( \ t=n\Delta t \ \)を代入して左辺の\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} \ \)を②式に代入すると，次の式で表される。ただし，\( \ \displaystyle \delta t=\frac {d}{v_{\mathrm {i}}} \ \)と仮定する。
\[
\begin{eqnarray}
v_{n} &=& v_{\mathrm {i}}+ \ \fbox {　 （２） 　} \ \sin \left( \omega n\Delta t\right) 　························　③ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \( \ n \ \)番目に放出された電子は，\( \ x＞0 \ \)の領域では速度\( \ v_{n} \ \)で等速直線運動するので，時刻\( \ t \ \)における電子の位置\( \ x_{n} \ \)は，次のように表される。なお，通過時間\( \ \delta t \ \)は無視する。
\[
\begin{eqnarray}
x_{n} &=& v_{n}\left( t-n\Delta t\right) 　··································　④ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ③式の\( \ \omega n\Delta t \ \)が十分小さい場合には，\( \ \sin \ \)関数は次のように近似できる。
\[
\begin{eqnarray}
\sin \left( \omega n\Delta t\right) &≈& \omega n\Delta t　·································　⑤ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 遅れ時間\( \ n\Delta t \ \)に比例した大きさの電界で加速されるため，後から出発した電子が先に出発した電子に追いつくことができる。追いつく位置を求めよう。

③式に⑤式を適用して④式に代入し，\( \ \Delta t \ \)の\( \ 2 \ \)乗の項を無視すると次式を得る。
\[
\begin{eqnarray}
x_{n} &≈& v_{\mathrm {i}}t+\left( \ \fbox {　 （３） 　} \ \right) n\Delta t　··························　⑥ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ⑥式に，\( \ \fbox {　 （３） 　} \ =0 \ \)となる条件を課すと，ある時刻\( \ t= \ \fbox {　 （４） 　} \ \)において，\( \ x_{n} \ \)が\( \ n \ \)に依存しないことが導かれる。このことは，⑤式を満たす複数の\( \ n \ \)の電子群が，同じ時刻に，同一の位置に集群することを意味する。この集群位置は，\( \ x_{n}≈ \ \fbox {　 （５） 　} \ \)である。このようにして電子流に密度の濃淡が形成される。この現象は，高周波発振や増幅などの機能を有する電子管等に応用されている。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}-\omega t　　　　　&（ロ）&　\frac {eE_{0}d}{v_{\mathrm {i}}}　　　　　&（ハ）&　\frac {eE_{0}v_{\mathrm {i}}}{md}\omega t-v_{\mathrm {i}} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {E_{0}}{em}　　　　　&（ホ）&　\frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}　　　　　&（ヘ）&　\frac {mv_{\mathrm {i}}^{2}}{eE_{0}d\omega } \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {md}{eE_{0}\omega }　　　　　&（チ）&　\frac {eE_{0}}{m}　　　　　&（リ）&　eE_{0} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {eE_{0}v_{\mathrm {i}}}{md}　　　　　&（ル）&　\frac {mv_{\mathrm {i}}^{3}}{eE_{0}d\omega }　　　　　&（ヲ）&　\frac {mv_{\mathrm {i}}^{2}d}{eE_{0}\omega } \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {mv_{\mathrm {i}}}{eE_{0}d\omega }　　　　　&（カ）&　\frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}\omega t-v_{\mathrm {i}}　　　　　&（ヨ）&　\frac {mv_{\mathrm {i}}}{eE_{0}d\omega ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

真空中の電子の運動に関する問題です。
特別難解な公式を使用する問題ではありませんが，問題文が長く，読解しながら解かなければならない問題なので，時間との勝負になるかと思います。
このような読み解いてその場で考える問題は\( \ 1 \ \)種では非常に多いので，よく内容を確認しながら解くようにして下さい。

1.電荷に働く力の大きさ
一様な電界\( \ E \ \)が電荷\( \ q \ \)にかかっているとき，この電荷\( \ q \ \)に働く力の大きさ\( \ F \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&qE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.運動方程式（力学）
質量\( \ m \ \)の物体に力\( \ F \ \)がかかっている時，この物体にかかる加速度\( \ \displaystyle a=\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} \ \)との間には，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&ma \\[ 5pt ] &=&m\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

(1)解答：チ
電子に加わる力の大きさ\( \ F \ \)は，ワンポイント解説「1.電荷に働く力の大きさ」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&eE \\[ 5pt ] &=&eE_{0}\sin \left( \omega t\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，電子の速度\( \ v \ \)に関する運動方程式は，ワンポイント解説「2.運動方程式（力学）」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&m\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] \frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t}&=&\frac {F}{m} \\[ 5pt ] &=&\frac {eE_{0}}{m}\sin \left( \omega t\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ホ
問題文に沿って，①式に\( \ t=n\Delta t \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t}&=&\frac {eE_{0}}{m}\sin \left( \omega n\Delta t\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，上式を②式を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{n} &=& v_{\mathrm {i}}+\frac {eE_{0}}{m}\sin \left( \omega n\Delta t\right)\cdot \delta t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，さらに題意に沿って\( \ \displaystyle \delta t=\frac {d}{v_{\mathrm {i}}} \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{n} &=& v_{\mathrm {i}}+\frac {eE_{0}}{m}\sin \left( \omega n\Delta t\right) \cdot \frac {d}{v_{\mathrm {i}}} \\[ 5pt ] &=& v_{\mathrm {i}}+\frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}\sin \left( \omega n\Delta t\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：カ
③式に⑤式を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{n}&=& v_{\mathrm {i}}+\frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}\sin \left( \omega n\Delta t\right) \\[ 5pt ] &≈& v_{\mathrm {i}}+\frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}\cdot \omega n\Delta t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，これを④式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
x_{n} &=& v_{n}\left( t-n\Delta t\right) \\[ 5pt ] &≈& \left( v_{\mathrm {i}}+\frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}\cdot \omega n\Delta t\right)\left( t-n\Delta t\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。上式を題意に沿って\( \ \Delta t \ \)の\( \ 2 \ \)乗の項を無視して展開すると，
\[
\begin{eqnarray}
x_{n} &≈& \left( v_{\mathrm {i}}+\frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}\cdot \omega n\Delta t\right)\left( t-n\Delta t\right) \\[ 5pt ] &≈& v_{\mathrm {i}}t-v_{\mathrm {i}}n\Delta t+\frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}\cdot \omega n\Delta t\cdot t \\[ 5pt ] &=& v_{\mathrm {i}}t+\left( \frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}\omega t-v_{\mathrm {i}}\right) n\Delta t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヘ
\( \ \displaystyle \frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}\omega t-v_{\mathrm {i}}=0 \ \)を満たす条件から，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {eE_{0}d}{mv_{\mathrm {i}}}\omega t &=&v_{\mathrm {i}} \\[ 5pt ] t&=& \frac {mv_{\mathrm {i}}^{2}}{eE_{0}d\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ル
(4)の条件において，⑥式は，
\[
\begin{eqnarray}
x_{n} &≈&v_{\mathrm {i}}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，(4)解答式を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
x_{n} &≈&v_{\mathrm {i}}\cdot \frac {mv_{\mathrm {i}}^{2}}{eE_{0}d\omega } \\[ 5pt ] &=&\frac {mv_{\mathrm {i}}^{3}}{eE_{0}d\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。