【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，電界効果トランジスタの原理に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図のように，\( \ \mathrm {n} \ \)形半導体と\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体を，左から\( \ \mathrm {n}-\mathrm {p}-\mathrm {n} \ \)の順に接合させた構造に対して，距離\( \ d \ \)を隔てて平行に金属ゲート電極を配置する。\( \ \mathrm {n}-\mathrm {p}-\mathrm {n} \ \)構造及びゲート電極の，紙面の奥行き方向の長さを\( \ W \ \)とする。\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体の長さを\( \ L \ \)とし，電極及び\( \ \mathrm {n} \ \)形半導体中の抵抗は無視する。また，ゲート電極と半導体間の誘電率を\( \ \varepsilon \ \)とする。
図の回路において，\( \ V_{\mathrm {D}}=0 \ \)とし，\( \ V_{\mathrm {G}}＞0 \ \)を印加した場合を考える。平行平板導体間の静電誘導によって，ゲート電極下面に正の面電荷密度\( \ +\sigma \ \)が，半導体側には負の面電荷密度\( \ -\sigma \ \)が誘起される。ただし，\( \ L≫d \ \)，\( \ W≫d \ \)と仮定し，端部効果は無視する。ゲート電極と半導体の間の電界の\( \ x \ \)方向成分を\( \ E_{x} \ \)と定義すると，\( \ \sigma \ \)は\( \ E_{x} \ \)と\( \ \varepsilon \ \)を用いて次のように表される。
\[
\begin{eqnarray}
\sigma &=& \ \fbox { （１） } \ \ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
半導体側に誘起される負の電荷は電子の流入によって生じるが，\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体には多数の正孔が存在するため，流入した電子は正孔との再結合で消滅する。表面における正孔の面電荷密度を\( \ \displaystyle \frac {\varepsilon }{d} V_{\mathrm {th}} \ \)と仮定すると，\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体表面に誘起される電子の面電荷密度の大きさ\( \ \sigma _{\mathrm {e}} \ \)は，\( \ \sigma \ \)から正孔の面電荷密度を減じた大きさになる。すなわち，
\[
\begin{eqnarray}
\sigma _{\mathrm {e}} &=& \sigma -\frac {\varepsilon }{d} V_{\mathrm {th}} ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
ただし，\( \ V_{\mathrm {th}} \ \)は，\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体表面の正孔を打ち消すのに必要な\( \ V_{\mathrm {G}} \ \)に相当し，しきい値電圧と呼ばれる。
次に，\( \ V_{\mathrm {G}}＞0 \ \)，\( \ V_{\mathrm {D}}＞0 \ \)の場合を考える。図に示す\( \ z \ \)座標を用いて\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体表面の電位を\( \ V_{\mathrm {C}}\left( z\right) \ \)と定義する。位置\( \ z \ \)における\( \ E_{x} \ \)は，\( \ V_{\mathrm {C}}\left( z\right) \ \)，\( \ V_{\mathrm {G}} \ \)，\( \ d \ \)を用いて次のように表される。
\[
\begin{eqnarray}
E_{x} &=& \ \fbox { （２） } ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ③ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②式に，①式，③式を代入すると，\( \ \sigma _{\mathrm {e}} \ \)は次のように表される。
\[
\begin{eqnarray}
\sigma _{\mathrm {e}} &=&\frac {\varepsilon }{d}\left( \ \fbox { （３） } \ \right) \ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ④ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体表面に電子が誘起されている状況では，\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体表面が\( \ \mathrm {n} \ \)形に反転していることから，構造全体として\( \ \mathrm {n}-\mathrm {n}-\mathrm {n} \ \)接合となり，\( \ V_{\mathrm {D}}＞0 \ \)の印加により，電流が流れる。面電荷密度\( \ -\sigma _{\mathrm {e}} \ \)の電子が電界により平均速度\( \ v \ \)でドリフト運動する場合の電流\( \ i_{\mathrm {D}} \ \)は，奥行き長さ\( \ W \ \)を考慮し，\( \ +z \ \)方向を正として次のように表される。
\[
\begin{eqnarray}
i _{\mathrm {D}} &=&-\sigma _{\mathrm {e}}Wv ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ⑤ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( \ v \ \)は，電子の移動度\( \ \mu \ \)と，\( \ z \ \)方向の電界\( \ E_{z} \ \)を用いて次のように表される。ただし，\( \ \mu \ \)は場所によらず一定とする。
\[
\begin{eqnarray}
v &=&-\mu E_{z} \ \ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ⑥ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( \ E_{z} \ \)は\( \ V_{\mathrm {C}}\left( z\right) \ \)を用いて次のように表される。
\[
\begin{eqnarray}
E_{z} &=&-\frac{ \partial V_{\mathrm {C}}\left( z\right) }{ \partial z } \ \ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ⑦ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
⑤式に，④式，⑥式，⑦式を代入し，\( \ I_{\mathrm {D}}=-i_{\mathrm {D}} \ \)の関係を用いると，\( \ I_{\mathrm {D}} \ \)は次のように表される。
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {D}} &=&\frac {\varepsilon \mu W }{d}\left( \ \fbox { （３） } \ \right) \frac{ \partial V_{\mathrm {C}}\left( z\right) }{ \partial z } \ ・・・・・・・・・・・・・・・ ⑧ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
定常状態では，電流の連続性から，\( \ I_{\mathrm {D}} \ \)は位置\( \ z \ \)によらない定数となる。また，\( \ V_{\mathrm {th}} \ \)も\( \ z \ \)によらない定数であると仮定して，⑧式の両辺を\( \ z=0 \ \)から\( \ L \ \)まで\( \ z \ \)で積分すると，左辺の積分の値は\( \ \fbox { （４） } \ \)となる。右辺の積分も実行して，\( \ V_{\mathrm {C}}\left( 0\right) =0 \ \)及び\( \ V_{\mathrm {C}}\left( L\right) =V_{\mathrm {D}} \ \)を適用すると，\( \ I_{\mathrm {D}} \ \)は\( \ V_{\mathrm {D}} \ \)の関数として\( \ I_{\mathrm {D}}= \ \fbox { （５） } \ \)のように表される。
〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& I_{\mathrm {D}}L &（ロ）& \frac {d}{V_{\mathrm {G}}- V_{\mathrm {C}}\left( z\right) } &（ハ）& \varepsilon E_{x} \\[ 5pt ]
&（ニ）& V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}-V_{\mathrm {C}}\left( z\right) &（ホ）& \frac {I_{\mathrm {D}}}{L} &（ヘ）& \frac {\varepsilon E_{x}}{2} \\[ 5pt ]
&（ト）& 2\varepsilon E_{x} &（チ）& V_{\mathrm {G}}+V_{\mathrm {th}}-V_{\mathrm {C}}\left( z\right) &（リ）& \frac {V_{\mathrm {G}}- V_{\mathrm {C}}\left( z\right) }{d} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {{I_{\mathrm {D}}}^{2}L}{2} &（ル）& \frac {V_{\mathrm {G}}+ V_{\mathrm {C}}\left( z\right) }{d} &（ヲ）& V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}+V_{\mathrm {C}}\left( z\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
&（ワ）& \frac {\varepsilon \mu WL}{2d}\left[ 2\left( V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}\right) V_{\mathrm {D}}-{V_{\mathrm {D}}}^{2}\right] &（カ）& \frac {\varepsilon \mu W}{2dL}\left[ 2\left( V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}\right) V_{\mathrm {D}}-{V_{\mathrm {D}}}^{2}\right] \\[ 5pt ]
&（ヨ）& \frac {\varepsilon \mu W}{2dL}\left[ 2\left( V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}\right) V_{\mathrm {D}}+{V_{\mathrm {D}}}^{2}\right] && \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
電界効果トランジスタの原理を数式を用いて考える問題です。
\( \ 2 \ \)種まではあまり出題されなかったような内容で，電磁気の知識を応用したような内容です。
問題文が少し長いので読解が大変ですが，じっくり読んで正答できるようにしましょう。
1.ガウスの法則
\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \)から出る電気力線は\( \ \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon } \ \)本，電束は\( \ Q \ \)本であり，電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)及び電束密度\( \ D \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ \)との関係は，任意の閉曲面において，
\[
\begin{eqnarray}
\int _{S} \boldsymbol E \cdot \mathrm {d}\boldsymbol S &=& \frac {Q}{\varepsilon } \\[ 5pt ]
\int _{S} \boldsymbol D \cdot \mathrm {d}\boldsymbol S &=& Q \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これをガウスの法則といいます。
2.平行平板コンデンサの電界\( \ E \ \)と電圧\( \ V \ \)の関係
極板間の距離\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)の平行平板コンデンサに電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)をかけると，極板間の電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {V}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.平行平板コンデンサの電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)の関係
極板間の誘電率を\( \ \varepsilon \ \mathrm {[F / m]} \ \)とすると，電束密度\( \ D \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ \)と電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
D&=&\varepsilon E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ \)，誘電体の比誘電率を\( \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ \)とすると，\( \ \varepsilon = \varepsilon _{\mathrm {r}}\varepsilon _{0} \ \)の関係があるので，
\[
\begin{eqnarray}
D&=&\varepsilon _{\mathrm {r}}\varepsilon _{0}E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)解答：ハ
ワンポイント解説「1.ガウスの法則」より，面電荷密度\( \ \sigma \ \)から出る電束密度は\( \ \sigma \ \)となるので，\( \ \sigma \ \)と\( \ E_{x} \ \)の関係は，ワンポイント解説「3.平行平板コンデンサの電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\sigma &=&\varepsilon E_{x} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：リ
位置\( \ z \ \)におけるゲート電極下面と\( \ \mathrm {p} \ \)形半導体表面の電位差は\( \ V_{\mathrm {G}}- V_{\mathrm {C}}\left( z\right) \ \)なので，位置\( \ z \ \)における\( \ E_{x} \ \)は，ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの電界\( \ E \ \)と電圧\( \ V \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
E_{x} &=&\frac {V_{\mathrm {G}}- V_{\mathrm {C}}\left( z\right) }{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ニ
②式に，(1)，(3)解答式を代入すると，\( \ \sigma _{\mathrm {e}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\sigma _{\mathrm {e}} &=& \sigma -\frac {\varepsilon }{d} V_{\mathrm {th}} \\[ 5pt ]
&=& \varepsilon E_{x} -\frac {\varepsilon }{d} V_{\mathrm {th}} \\[ 5pt ]
&=& \varepsilon \frac {V_{\mathrm {G}}- V_{\mathrm {C}}\left( z\right) }{d} -\frac {\varepsilon }{d} V_{\mathrm {th}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon }{d}\left\{ V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}-V_{\mathrm {C}}\left( z\right) \right\} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：イ
\( \ I_{\mathrm {D}} \ \)は位置\( \ z \ \)によらない定数であるので，⑧式の左辺の積分は，
\[
\begin{eqnarray}
\int _{0}^{L}I_{\mathrm {D}} \mathrm {d}z &=& \left[ I_{\mathrm {D}}z\right] _{0}^{L} \\[ 5pt ]
&=& I_{\mathrm {D}}L \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：カ
⑧式の右辺を積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\int _{0}^{L}\frac {\varepsilon \mu W }{d}\left\{ V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}-V_{\mathrm {C}}\left( z\right) \right\} \frac{ \partial V_{\mathrm {C}}\left( z\right) }{ \partial z } \mathrm {d}z &=&\frac {\varepsilon \mu W }{d}\int _{0}^{L}\left\{ V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}-V_{\mathrm {C}}\left( z\right) \right\} \frac{ \partial V_{\mathrm {C}}\left( z\right) }{ \partial z } \mathrm {d}z \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon \mu W }{d}\int _{0}^{V_{\mathrm {D}}}\left\{ V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}-V_{\mathrm {C}}\left( z\right) \right\} \mathrm {d} V_{\mathrm {C}}\left( z\right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon \mu W }{d}\left[ \left( V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}\right) V_{\mathrm {C}}\left( z\right) -\frac {V_{\mathrm {C}}\left( z\right) ^{2}}{2}\right] _{0}^{V_{\mathrm {D}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon \mu W }{d}\left\{ \left( V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}\right) V_{\mathrm {D}} -\frac {{V_{\mathrm {D}}} ^{2}}{2}\right\} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，これと(4)解答式より\( \ I_{\mathrm {D}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {D}}L&=&\frac {\varepsilon \mu W }{d}\left\{ \left( V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}\right) V_{\mathrm {D}} -\frac {{V_{\mathrm {D}}} ^{2}}{2}\right\} \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {D}}&=&\frac {\varepsilon \mu W }{dL}\left\{ \left( V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}\right) V_{\mathrm {D}} -\frac {{V_{\mathrm {D}}} ^{2}}{2}\right\} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon \mu W}{2dL}\left\{ 2\left( V_{\mathrm {G}}-V_{\mathrm {th}}\right) V_{\mathrm {D}}-{V_{\mathrm {D}}}^{2}\right\} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん