《理論》〈電気回路〉[R05:問4]テブナンの定理を利用した正弦波交流回路の演算に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，正弦波交流回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図1の回路において，電源電圧\( \ \dot V=10∠0=10 \ \mathrm {V} \ \)であり，各素子のインピーダンスは図1に示すとおりである。図1の回路において，電流\( \ \dot I= \ \fbox {　 （１） 　} \ \mathrm {A} \ \)である。

図1の回路の端子\( \ \mathrm {a – b} \ \)に負荷\( \ {\dot Z}_{\mathrm {L}}=5+\mathrm {j}5 \ \mathrm {\Omega } \ \)を接続したときに，負荷\( \ {\dot Z}_{\mathrm {L}} \ \)を流れる電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {L}} \ \)と負荷\( \ {\dot Z}_{\mathrm {L}} \ \)で消費される有効電力\( \ P_{\mathrm {L}} \ \)を，以下の手順に従って求める。

端子\( \ \mathrm {a – b} \ \)から見込んだ図1の等価回路は図2となる。ただし，図2の等価回路において\( \ {\dot V}_{\mathrm {0}} = \ \fbox {　 （２） 　} \ \mathrm {V} \ \)，\( \ {\dot Z}_{\mathrm {0}} = \ \fbox {　 （３） 　} \ \mathrm {\Omega } \ \)である。

したがって，求める電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {L}} \ \)と有効電力\( \ P_{\mathrm {L}} \ \)は，図2の等価回路の端子\( \ \mathrm {a – b} \ \)に負荷\( \ {\dot Z}_{\mathrm {L}} \ \)を接続したときに，負荷\( \ {\dot Z}_{\mathrm {L}} \ \)を流れる電流，及び負荷\( \ {\dot Z}_{\mathrm {L}} \ \)で消費される有効電力として，\( \ {\dot I}_{\mathrm {L}}= \ \fbox {　 （４） 　} \ \mathrm {A} \ \)，及び \( \ P_{\mathrm {L}}= \ \fbox {　 （５） 　} \ \mathrm {W} \ \)と求められる。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　-\mathrm {j}　　　　　&（ロ）&　5+\mathrm {j}5　　　　　&（ハ）&　10+\mathrm {j}10 \\[ 5pt ] &（ニ）&　2-\mathrm {j}2　　　　　&（ホ）&　5　　　　　&（ヘ）&　\mathrm {j} \\[ 5pt ] &（ト）&　2　　　　　&（チ）&　-10-\mathrm {j}10　　　　　&（リ）&　5-\mathrm {j}5 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　10-\mathrm {j}10　　　　　&（ル）&　1+\mathrm {j}　　　　　&（ヲ）&　\mathrm {j}5 \\[ 5pt ] &（ワ）&　2+\mathrm {j}2　　　　　&（カ）&　20　　　　　&（ヨ）&　10 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

テブナンの定理を利用した交流回路の演算に関する問題です。
交流回路の各素子のインピーダンスや電力の求め方，合成インピーダンス，分圧の法則等はここではカバーしきれないため\( \ 3 \ \)種の問題や参考書を参考にするようにして下さい。

1.テブナンの定理
図3のような回路において，端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)の開放電圧を\( \ V_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[V]} \ \)，端子\( \ \mathrm {a-b} \ \)から電源側をみた合成抵抗を\( \ R_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とする（ただし，電圧源は短絡，電流源は開放する）と，図の抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を流れる電流の大きさ\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {V_{\mathrm {0}}}{R+R_{0}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。この関係は抵抗のみでなく，リアクタンスにも適用可能です。

【解答】

(1)解答：ト
図1における合成インピーダンス\( \ {\dot Z}_{\mathrm {1}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {1}}&=&\mathrm {j}5+5-\mathrm {j}5 \\[ 5pt ] &=&5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] なので，電流\( \ \dot I \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\dot I&=&\frac {\dot V}{{\dot Z}_{\mathrm {1}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {10}{5} \\[ 5pt ] &=&2 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ヌ
端子\( \ \mathrm {a – b} \ \)に加わる電圧\( \ {\dot V}_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，分圧の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {0}}&=&\frac {5-\mathrm {j}5}{{\dot Z}_{\mathrm {1}}}\dot V \\[ 5pt ] &=&\frac {5-\mathrm {j}5}{5}\times 10 \\[ 5pt ] &=&10-\mathrm {j}10 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ロ
端子\( \ \mathrm {a – b} \ \)から電源側を見た等価抵抗は電圧源を短絡すれば良いので，図4のようになる。したがって，等価インピーダンス\( \ {\dot Z}_{\mathrm {0}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {0}}&=&\frac {\mathrm {j}5\left( 5-\mathrm {j}5\right) }{\mathrm {j}5+\left( 5-\mathrm {j}5\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {25+\mathrm {j}25}{5} \\[ 5pt ] &=&5+\mathrm {j}5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：イ
（２）及び（３）より，等価回路は図5のようになる。したがって，負荷\( \ {\dot Z}_{\mathrm {L}} \ \)を流れる電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {L}}&=&\frac {{\dot V}_{\mathrm {0}}}{{\dot Z}_{\mathrm {0}}+{\dot Z}_{\mathrm {L}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {10-\mathrm {j}10}{\left( 5+\mathrm {j}5\right) +\left( 5+\mathrm {j}5\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {10-\mathrm {j}10}{10+\mathrm {j}10} \\[ 5pt ] &=&\frac {10-\mathrm {j}10}{10+\mathrm {j}10}\times \frac {10-\mathrm {j}10}{10-\mathrm {j}10} \\[ 5pt ] &=&\frac {100-\mathrm {j}200-100}{100+100} \\[ 5pt ] &=&\frac {-\mathrm {j}200}{200} \\[ 5pt ] &=&-\mathrm {j} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ホ
負荷\( \ {\dot Z}_{\mathrm {L}} \ \)で消費される有効電力\( \ P_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[W]} \ \)は，負荷の抵抗分\( \ R_{\mathrm {L}}=5 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {L}}&=&R_{\mathrm {L}}\left| {\dot I}_{\mathrm {L}}\right| ^{2} \\[ 5pt ] &=&5\times \left| -\mathrm {j}\right| ^{2} \\[ 5pt ] &=&5\times 1 ^{2} \\[ 5pt ] &=&5 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。