《理論》〈電気回路〉[R07:問4]インピーダンスの校正に用いるブリッジ回路に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，インピーダンスの校正に用いるブリッジ回路に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図は，既知の標準インピーダンス$ \ {\dot Z}_{\mathrm {S}} \ $を用いて未知のインピーダンス$ \ {\dot Z}_{\mathrm {X}} \ $を校正するためのブリッジ回路で，交流電源$ \ \dot E \ $，誘導分圧器$ \ \mathrm {IVD} \ $及び検流計Ⓖで構成されている。なお，$ \ \mathrm {IVD} \ $は理想的なものであり，全体の巻数$ \ n \ $が固定で，$ \ k \ $は可変（ただし，$ \ 0 ＜ k ＜ 1 \ $）である。

$ \ \dot E \ $は，$ \ \mathrm {IVD} \ $によって$ \ {\dot E}_{\mathrm {S}}= \ \fbox {　（１）　} \ $，及び$ \ {\dot E}_{\mathrm {X}}= \ \fbox {　（２）　} \ $に分圧されるから，回路には，$ \ \displaystyle {\dot I}_{\mathrm {S}}=\frac { \ \fbox {　（１）　} \ }{{\dot Z}_{\mathrm {S}}} \ $及び$ \ \displaystyle {\dot I}_{\mathrm {X}}=\frac { \ \fbox {　（２）　} \ }{{\dot Z}_{\mathrm {X}}} \ $の電流が流れる。

いま，$ \ \mathrm {IVD} \ $の$ \ k \ $を調整し，Ⓖが零を指してブリッジが平衡したとする。ブリッジが平衡しているため，$ \ {\dot I}_{\mathrm {S}}={\dot I}_{\mathrm {X}} \ $が成立することを勘案すれば，$ \ {\dot Z}_{\mathrm {X}} \ $が次式のとおり求められる。
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {X}}&=& \ \fbox {　（３）　} \ {\dot Z}_{\mathrm {S}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 本回路は$ \ \fbox {　（４）　} \ $ブリッジの一種で，その特性は一般的に，$ \ \fbox {　（５）　} \ $。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　シェーリング　　　　&（ロ）&　k^{2}\dot E　　　　　&（ハ）&　\frac {1-k}{k} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {1}{1-k}\dot E　　　　　&（ホ）&　\frac {1}{k}\dot E　　　　&（ヘ）&　\left( 1-k\right) ^{2}\dot E \\[ 5pt ] &（ト）&　1-k 　　　　&（チ）&　k\dot E　　　　　&（リ）&　マクスウェル \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {k}{1-k}　　　　　&（ル）&　\left( 1-k\right) \dot E 　　　　&（ヲ）&　変成器 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
&（ワ）&　周囲温度の影響を受けやすいが，経年変化が少ない \\[ 5pt ] &（カ）&　周囲温度の影響を受けにくいが，経年変化が大きい \\[ 5pt ] &（ヨ）&　周囲温度の影響を受けにくく，経年変化が少ない \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

ブリッジ回路の平衡条件や特徴を問う問題です。
ブリッジ回路は電験でも出題数が多いですが，種類も多く名称を全て覚えるのは，時間効率的にはあまりお勧めしません。電験では過去ホイートストンブリッジやウィーンブリッジ，シェーリングブリッジ等が出題されています。
平衡条件の考え方は全て同じなので，その計算を確実に正答できるように準備しておいて下さい。

1.変成器ブリッジの構成と特徴
図1のように，ブリッジ回路のうち二つのインピーダンスを電源に置き換えた回路を半ブリッジといい，図1の回路において，検流計Ⓖに電流が流れない平衡条件が成立するとき，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot E}_{\mathrm {b}}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

また，図2のように電源の代わりに変成器の巻数比によりインピーダンスを特定するためのブリッジ回路を変成器ブリッジといい，$ \ \displaystyle {\dot E}_{\mathrm {a}}=\frac {N_{\mathrm {a}}}{N_{\mathrm {a}}+N_{\mathrm {b}}}\dot E \ $及び$ \ \displaystyle {\dot E}_{\mathrm {b}}=\frac {N_{\mathrm {b}}}{N_{\mathrm {a}}+N_{\mathrm {b}}}\dot E \ $であり，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {{\dot E}_{\mathrm {a}}}{{\dot E}_{\mathrm {b}}}&=&\frac {\displaystyle \frac {N_{\mathrm {a}}}{N_{\mathrm {a}}+N_{\mathrm {b}}}\dot E}{\displaystyle \frac {N_{\mathrm {b}}}{N_{\mathrm {a}}+N_{\mathrm {b}}}\dot E} \\[ 5pt ] &=&\frac {N_{\mathrm {a}}}{N_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であることから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {N_{\mathrm {a}}}{N_{\mathrm {b}}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。変成器ブリッジには，
・通常のブリッジ回路よりも少ない素子でブリッジ回路が構成できる
・巻線間が密に結合しているため，漏れ磁束がなく，巻数比と電圧比の誤差がほとんどない
・周囲温度や湿度の影響を受けにくく，経年劣化が少ない
・機械的衝撃に強い
等の特徴があります。

【解答】

(1)解答：ル
分圧の法則より，$ \ {\dot E}_{\mathrm {S}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{\mathrm {S}}&=&\frac {\left( 1-k\right) n}{\left( 1-k\right) n+kn}\dot E \\[ 5pt ] &=&\left( 1-k\right) \dot E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：チ
分圧の法則より，$ \ {\dot E}_{\mathrm {X}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{\mathrm {X}}&=&\frac {kn}{\left( 1-k\right) n+kn}\dot E \\[ 5pt ] &=&k \dot E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ヌ
(1)及び(2)より，回路には$ \ \displaystyle {\dot I}_{\mathrm {S}}=\frac {\left( 1-k\right) \dot E}{{\dot Z}_{\mathrm {S}}} \ $及び$ \ \displaystyle {\dot I}_{\mathrm {X}}=\frac {k \dot E}{{\dot Z}_{\mathrm {X}}} \ $の電流が流れ，$ \ {\dot I}_{\mathrm {S}}={\dot I}_{\mathrm {X}} \ $が成立するので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\left( 1-k\right) \dot E}{{\dot Z}_{\mathrm {S}}}&=&\frac {k \dot E}{{\dot Z}_{\mathrm {X}}} \\[ 5pt ] \frac { 1-k }{{\dot Z}_{\mathrm {S}}}&=&\frac {k }{{\dot Z}_{\mathrm {X}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {X}}&=&\frac {k}{1-k}{\dot Z}_{\mathrm {S}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヲ
題意より，解答候補は（イ）シェーリング，（リ）マクスウェル，（ヲ）変成器，になると思います。
ワンポイント解説「1.変成器ブリッジの構成と特徴」の通り，問題図のようなブリッジ回路を変成器ブリッジといいます。

(5)解答：ヨ
ワンポイント解説「1.変成器ブリッジの構成と特徴」の通り，周囲温度の影響を受けにくく，経年変化が少ないという特徴があります。