《理論》〈電磁気〉[H18:問2]環状鉄心の巻線インダクタンスに関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★★（難しい）

次の文章は，環状鉄心の巻線インダクタンスに関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる式を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

図1のように，空げきをもつ環状鉄心に二つの巻線が巻かれている。鉄心部は平均磁路長が$ \ l \ $で透磁率が$ \ \mu \ $，空げき部は長さが$ \ d \ $で透磁率が$ \ \mu _{0} \ $であり，断面積は両方とも$ \ S \ $である。端子$ \ \mathrm {a-b} \ $間には巻数$ \ 2N \ $の巻線（巻線$ \ 1 \ $），端子$ \ \mathrm {b-c} \ $間には巻数$ \ N \ $の巻線（巻線$ \ 2 \ $）が巻かれている。巻線抵抗，漏れ磁束，空げき部の磁束の乱れ（端効果）は無視する。

自己インダクタンスは，巻線の磁束鎖交数（巻数と鎖交磁束の積）を巻線電流で除した量として求められる。したがって，端子$ \ \mathrm {a-c} \ $間の自己インダクタンスは$ \ \fbox {　（１）　} \ $であり，巻線$ \ 2 \ $の自己インダクタンスは$ \ \fbox {　（２）　} \ $である。また，巻線$ \ 1 \ $と巻線$ \ 2 \ $の間の相互インダクタンス$ \ M \ $は$ \ \fbox {　（３）　} \ $である。

巻線$ \ 1 \ $に外部の交流電源から図1に示すような方向に正弦波電流$ \ i=I_{m}\sin \left( \omega t+\alpha \right) \ $を流すと端子$ \ \mathrm {b-c} \ $間に誘起される定常の電圧（端子$ \ \mathrm {c} \ $を基準とした端子$ \ \mathrm {b} \ $の電圧）は，相互インダクタンス$ \ M \ $を含む式で表すと$ \ v_{bc} = \ \fbox {　（４）　} \ $である。ここで，$ \ I_{m} \ $は電流の最大値，$ \ \omega \ $は角周波数，$ \ t \ $は時間，$ \ \alpha \ $は初期位相角である。

次に，巻線$ \ 1 \ $に電流$ \ i \ $として，ある波形の交流電流を図1のように流したところ，端子$ \ \mathrm {b-c} \ $間に，周期$ \ T \ $，最大値$ \ V \ $，最小値$ \ -V \ $となる図2のような方形波電圧が現れた。この場合の電流$ \ i \ $の最大値と最小値の差は，相互インダクタンス$ \ M \ $を含む式で表すと$ \ \fbox {　（５）　} \ $となる。

〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\omega M I_{m} \sin \left( \omega t+\alpha \right)　　　　　&（ロ）&　\frac {VT}{2M}　　　　　&（ハ）&　\frac {4N^{2}S}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {0.5N^{2}S}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}}　　　　　&（ホ）&　\frac {9N^{2}S}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}}　　　　　&（ヘ）&　\frac {VT}{M} \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {\sqrt {2}N^{2}S}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}}　　　　　&（チ）&　\frac {N^{2}S}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}}　　　　　&（リ）&　-\omega M I_{m} \cos \left( \omega t+\alpha \right) \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {16N^{2}S}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}}　　　　　&（ル）&　\frac {VT^{2}}{2M}　　　　　&（ヲ）&　\frac {2N^{2}S}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {4NS}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}}　　　　　&（カ）&　\omega M I_{m} \cos \left( \omega t+\alpha \right)　　　　　&（ヨ）&　\frac {\mu _{0}N^{2}S}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

ファラデーの電磁誘導を用いた空げきを含む磁気回路に関する問題です。
自己インダクタンスや相互インダクタンスの定義，磁気回路のオームの法則をしっかりと理解していないと解けない良問となります。
磁気回路は$ \ 2 \ $種で頻出の内容となりますので，磁気回路のオームの法則は確実に扱えるようにしておいて下さい。

1.ファラデーの電磁誘導の法則と自己インダクタンス$ \ L \ $
図3に示すように，巻数$ \ N \ $のコイルを貫通する磁束$ \ \phi \ \mathrm {[Wb]} \ $があるとき，コイルに発生する誘導起電力$ \ e \ \mathrm {[V]} \ $は，磁束の時間変化$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t} \ $に比例し，
\[
\begin{eqnarray}
e&=&−N\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。これをファラデーの電磁誘導の法則といいます。一方，電流変化$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d} I }{\mathrm {d} t} \ $を考える場合，
\[
\begin{eqnarray}
e&=&−L\frac {\mathrm {d} I }{\mathrm {d} t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] という関係も成り立ち，$ \ L \ \mathrm {[H]}\ $を自己インダクタンスと言います。これらの関係から，
\[
\begin{eqnarray}
−N\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}&=&−L\frac {\mathrm {d} I }{\mathrm {d} t} \\[ 5pt ] N\phi &=&LI \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があることがわかります。

2.磁気回路のオームの法則
中心長さ$ \ l \ \mathrm {[ m ]} \ $の環状鉄心に巻数$ \ N \ $のコイルが巻かれ，そこに電流$ \ I \ \mathrm {[ A ]} \ $が流れている時，鉄心内の磁界の強さ$ \ H \ \mathrm {[ A / m ]} \ $は，アンペールの周回積分の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&Hl \\[ 5pt ] H&=&\frac {NI}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，鉄心内の磁束密度$ \ B \ \mathrm {[ T ]} \ $は，鉄心内の透磁率$ \ \mu \ \mathrm {[ H / m ]} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\mu H \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu NI}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。鉄心内の磁束$ \ \phi \ \mathrm {[ Wb ]} \ $は，鉄心の断面積$ \ S \ \mathrm {[ m^{2} ]} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\phi &=&BS \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu NIS}{l} \\[ 5pt ] &=&\frac {NI}{\displaystyle \frac {l}{\mu S}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，起磁力$ \ F=NI \ \mathrm {[ A ]} \ $，磁気抵抗$ \ R_{\mathrm {m}}=\displaystyle \frac {l}{\mu S} \ \mathrm {[ H^{-1} ]} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\phi &=&\frac {F}{R_{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，磁気回路のオームの法則が成立します。また，このときの自己インダクタンス$ \ L \ \mathrm {[H]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
L &=&\frac {N\phi }{I} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle N\cdot \frac {NI}{R_{\mathrm {m}}}}{I} \\[ 5pt ] &=&\frac {N^{2}}{R_{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {N^{2}}{\displaystyle \frac {l}{\mu S} } \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu SN^{2}}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.相互インダクタンス$ \ M \ $
図3に示すように，巻数$ \ N_{1} \ $のコイルと巻数$ \ N_{2} \ $のコイルが近傍にあり，巻数$ \ N_{1} \ $のコイルに流れる電流が$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}I_{1}}{\mathrm {d}t} \ \mathrm {[A / s]} \ $変化し，貫通する磁束が$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}\phi _{1}}{\mathrm {d}t} \ \mathrm {[Wb / s]} \ $変化すると，巻数$ \ N_{2} \ $のコイルの磁束も変化します。このときの磁束の変化量を$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}\phi _{2}}{\mathrm {d}t} \ \mathrm {[Wb / s]}\left( \phi _{1}≧\phi _{2}\right) \ $とすると，巻数$ \ N_{2} \ $のコイルに発生する誘導起電力$ \ e \ \mathrm {[V]} \ $は，ファラデーの電磁誘導の法則から，
\[
\begin{eqnarray}
e&=&−N_{2}\frac {\mathrm {d} \phi _{2}}{\mathrm {d} t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また，電流変化$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}I_{1}}{\mathrm {d}t} \ \mathrm {[A / s]} \ $を考える場合，
\[
\begin{eqnarray}
e&=&-M\frac {\mathrm {d} I _{1}}{\mathrm {d} t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] という関係も成り立ち，$ \ M \ \mathrm {[H]} \ $を相互インダクタンスと言います。これらの関係から，
\[
\begin{eqnarray}
−N_{2}\frac {\mathrm {d} \phi _{2}}{\mathrm {d} t}&=&−M\frac {\mathrm {d} I_{1} }{\mathrm {d} t} \\[ 5pt ] N_{2}\phi _{2}&=&MI_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があることがわかります。

【解答】

(1)解答：ホ
図1の磁気回路の磁気抵抗$ \ R_{m} \ $は，ワンポイント解説「2.磁気回路のオームの法則」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
R_{m}&=&\frac {l}{\mu S}+\frac {d}{\mu _{0} S} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{S}\left( \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，$ \ \mathrm {a-c} \ $間に電流$ \ i \ $を流したときの鉄心内の磁束$ \ \phi _{ac} \ $は，ワンポイント解説「2.磁気回路のオームの法則」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\phi _{ac}&=&\frac {\left( 2N+N\right) i}{R_{m}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3Ni}{\displaystyle \frac {1}{S}\left( \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {3NiS}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，$ \ \mathrm {a-c} \ $間の自己インダクタンス$ \ L_{ac} \ $は，ワンポイント解説「1.ファラデーの電磁誘導の法則と自己インダクタンス$ \ L \ $」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
L_{ac}i&=&3N\phi _{ac} \\[ 5pt ] &=&3N\cdot \frac {3NiS}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }} \\[ 5pt ] &=&\frac {9N^{2}iS}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }} \\[ 5pt ] L_{ac}&=&\frac {9N^{2}S}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：チ
(1)と同様に，$ \ \mathrm {b-c} \ $間に電流$ \ i \ $を流したときの鉄心内の磁束$ \ \phi _{bc} \ $は，ワンポイント解説「2.磁気回路のオームの法則」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\phi _{bc}&=&\frac {Ni}{R_{m}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Ni}{\displaystyle \frac {1}{S}\left( \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {NiS}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，$ \ \mathrm {b-c} \ $間の自己インダクタンス$ \ L_{bc} \ $は，ワンポイント解説「1.ファラデーの電磁誘導の法則と自己インダクタンス$ \ L \ $」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
L_{bc}i&=&N\phi _{bc} \\[ 5pt ] &=&N\cdot \frac {NiS}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }} \\[ 5pt ] &=&\frac {N^{2}iS}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }} \\[ 5pt ] L_{bc}&=&\frac {N^{2}S}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ヲ
$ \ \mathrm {a-b} \ $間に電流$ \ i \ $を流したときの鉄心内の磁束$ \ \phi _{ab} \ $は，ワンポイント解説「2.磁気回路のオームの法則」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\phi _{ab}&=&\frac { 2N i}{R_{m}} \\[ 5pt ] &=&\frac {2Ni}{\displaystyle \frac {1}{S}\left( \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {2NiS}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，漏れ磁束は無視するので$ \ \mathrm {b-c} \ $間を通過する磁束も等しい。よって，相互インダクタンス$ \ M \ $は，ワンポイント解説「3.相互インダクタンス$ \ M \ $」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Mi&=&N\phi _{ab} \\[ 5pt ] &=&N\cdot \frac {2NiS}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }} \\[ 5pt ] &=&\frac {2N^{2}iS}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0} }} \\[ 5pt ] M&=&\frac {2N^{2}S}{\displaystyle \frac {l}{\mu }+\frac {d}{\mu _{0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：カ
端子$ \ \mathrm {b-c} \ $間に誘起される電圧$ \ v _{bc} \ $は，ワンポイント解説「3.相互インダクタンス$ \ M \ $」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
v _{bc}&=&-M\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t} \\[ 5pt ] &=&-M\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\left\{ I_{m}\sin \left( \omega t+\alpha \right) \right\} \\[ 5pt ] &=&-MI_{m}\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\left\{ \sin \left( \omega t+\alpha \right) \right\} \\[ 5pt ] &=&-MI_{m}\omega \cos \left( \omega t+\alpha \right) \\[ 5pt ] &=&-\omega M I_{m} \cos \left( \omega t+\alpha \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，図6に示すように，$ \ i \ $の電流を正方向に流すと鉄心内の磁束は巻線$ \ 1 \ $で左回りに発生し，巻線$ \ 2 \ $では磁束の変化を阻止するため右回りの磁束が発生するように誘導起電力$ \ v _{bc} \ $が発生する。したがって，本問においては，誘導起電力$ \ v _{bc} \ $の符号は$ \ i \ $の電流が正のとき正となるため，$ \ v _{bc}=\omega M I_{m} \cos \left( \omega t+\alpha \right) \ $と求められる。

(5)解答：ロ
端子$ \ \mathrm {b-c} \ $間に誘起される電圧は，ワンポイント解説「3.相互インダクタンス$ \ M \ $」の通り電流の変化量に比例するので，$ \ \displaystyle 0 \gt t ≦\frac {T}{2} \ $は電流は一定に増加，$ \ \displaystyle \frac {T}{2} \gt t ≦T \ $は一定に減少していくことがわかる。したがって，電流の波形は図7に示すようになり，相互インダクタンスの式を変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&M\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t} \\[ 5pt ] M\mathrm {d} i&=&V\mathrm {d} t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，電流の最大値を$ \ I_{max} \ $，最小値を$ \ I_{min} \ $として両辺積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\int _{I_{min}}^{I_{max}}M\mathrm {d} i&=&\int _{0}^{\frac {T}{2}}V\mathrm {d} t \\[ 5pt ] \left[ Mi\right] _{I_{min}}^{I_{max}}&=&\left[ Vt\right] _{0}^{\frac {T}{2}} \\[ 5pt ] MI_{max}-MI_{min}&=&\frac {VT}{2}-0 \\[ 5pt ] M\left( I_{max}-I_{min}\right) &=&\frac {VT}{2} \\[ 5pt ] I_{max}-I_{min} &=&\frac {VT}{2M} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。