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【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
定格容量\( \ 100 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)，一次電圧\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {[V]} \ \)，二次電圧\( \ 220 \ \mathrm {[V]} \ \)，定格周波数\( \ 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)，\( \ \mathrm {A} \ \)種絶縁の単相油入変圧器がある。この変圧器の無負荷損は\( \ 980 \ \mathrm {[W]} \ \)である。この変圧器の一次巻線及び二次巻線の抵抗を\( \ 25 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)で，直流で測定したところ，それぞれ\( \ r_{1}= 0.328 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ r_{2}= 0.004 \ 67 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)であった。また，\( \ 25 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)で，二次側を短絡して，一次巻線に定格周波数\( \ 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)の低電圧を加えると，一次電流が定格電流に等しくなったときの電力（インピーダンスワット）は\( \ 1 \ 120 \ \mathrm {[W]} \ \)であった。交流抵抗は直流抵抗と同じであると見なして，この変圧器について，次の値を求めよ。ただし，巻線の材質は銅である。
なお，温度\( \ t \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)における抵抗を\( \ r_{e} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすれば，温度\( \ t^{\prime } \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)のときの抵抗\( \ r_{t^{\prime }e} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
r_{t^{\prime }e} &=&r_{e}\cdot \left( \frac {235+t^{\prime }}{235+t}\right) ・・・・・・・・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で与えられる。
また，温度\( \ t \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)における漂遊負荷損を\( \ P_{st} \ \mathrm {[W]} \ \)とすれば，温度\( \ t^{\prime } \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)のときの漂遊負荷損\( \ P_{t^{\prime }st} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{t^{\prime }st} &=&P_{st}\cdot \left( \frac {235+t}{235+t^{\prime }}\right) ・・・・・・・・・・・・・・ ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で与えられる.
(1) \( \ 25 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)での一次側に換算した等価抵抗\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)
(2) \( \ 75 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)での巻線の抵抗損\( \ \mathrm {[W]} \ \)
(3) \( \ 75 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)での漂遊負荷損\( \ \mathrm {[W]} \ \)
(4) 定格負荷，力率\( \ 0.8 \ \)で運転したとき，温度は\( \ 75 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)であった。このときの変圧器の規約効率\( \ \mathrm {[％]} \ \)
【ワンポイント解説】
単相変圧器の損失と効率を求める問題です。
恐らく迷った受験生が多かったのがインピーダンスワット\( \ 1 \ 120 \ \mathrm {[W]} \ \)に関する内容かと思いますが，こちらは短絡試験の結果すなわち負荷損の大きさということになります。そもそも短絡試験がわからない方は\( \ 2 \ \)種機械・制御科目の令和6年問2等を学習してみて下さい。
1.変圧器の巻数比と変圧比，変流比，インピーダンス比の関係
変圧器の一次側の巻数\( \ N_{1} \ \)，電圧\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)，電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)，二次側の巻数\( \ N_{2} \ \)，電圧\( \ V_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)，電流\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，巻数比\( \ \displaystyle a=\frac {N_{1}}{N_{2}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
a&=&\frac {N_{1}}{N_{2}} =\frac {V_{1}}{V_{2}}=\frac {I_{2}}{I_{1}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。\( \ \displaystyle \frac {V_{1}}{V_{2}} \ \)を変圧比，\( \ \displaystyle \frac {I_{1}}{I_{2}} \ \)を変流比といいます。
また，一次側のインピーダンスを\( \ Z_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，二次側のインピーダンスを\( \ Z_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，インピーダンス比\( \ \displaystyle \frac {Z_{1}}{Z_{2}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {Z_{1}}{Z_{2}}&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{1}}{I_{1}}}{\displaystyle \frac {V_{2}}{I_{2}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{1}}{V_{2}}}{\displaystyle \frac {I_{1}}{I_{2}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {a}{\displaystyle \frac {1}{a}} \\[ 5pt ]
&=&a^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)があり，\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷によらず一定であり，\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷（電流）の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って，定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[W]} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ]
&=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
次に，最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めます。上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，効率が最大となるためには，上式の分母が最小となれば良いです。よって，\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき，\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり，鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。
【解答】
(1)\( \ 25 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)での一次側に換算した等価抵抗\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)
変圧器の電圧比（巻数比）\( \ a \ \)は，ワンポイント解説「1.変圧器の巻数比と変圧比，変流比，インピーダンス比の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
a&=&\frac {6 \ 600}{220} \\[ 5pt ]
&=&30 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，一次側に換算した変圧器の等価抵抗\( \ r_{25} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.変圧器の巻数比と変圧比，変流比，インピーダンス比の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
r_{25}&=&r_{1}+a^{2}r_{2} \\[ 5pt ]
&=&0.328+30^{2}\times 0.004 \ 67 \\[ 5pt ]
&=&4.531 → 4.53 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)\( \ 75 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)での巻線の抵抗損\( \ \mathrm {[W]} \ \)
①式より，\( \ 75 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)での一次側に換算した等価抵抗\( \ r_{75} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
r_{75} &=&r_{25}\cdot \left( \frac {235+75}{235+25}\right) \\[ 5pt ]
&=&4.531\times \frac {310}{260} \\[ 5pt ]
&≒&5.402 \ 3 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，一次定格電圧\( \ I_{1n} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1n} &=&\frac {P_{n}}{V_{1n}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {100\times 10^{3}}{6 \ 600} \\[ 5pt ]
&≒&15.152 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，\( \ 75 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)での巻線の抵抗損\( \ P_{75c} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{75c} &=&r_{75}{I_{1n}}^{2} \\[ 5pt ]
&=&5.402 \ 3\times 15.152^{2} \\[ 5pt ]
&≒&1 \ 240.3 → 1 \ 240 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)\( \ 75 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)での漂遊負荷損\( \ \mathrm {[W]} \ \)
二次側を短絡し一次巻線に定格周波数\( \ 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)の低電圧を加え，一次電流が定格電流に等しくなったときの電力（インピーダンスワット）は負荷損であり，負荷損は抵抗損と漂遊負荷損を合わせたものである。題意より\( \ 25 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)での負荷損\( \ P_{l}=1 \ 120 \ \mathrm {[W]} \ \)であるため，\( \ 25 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)での漂遊負荷損\( \ P_{25st} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{25st} &=&P_{l}-P_{25c} \\[ 5pt ]
&=&P_{l}-r_{25}{I_{1n}}^{2} \\[ 5pt ]
&=&1 \ 120-4.531\times 15.152^{2} \\[ 5pt ]
&≒&79.759 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，②式より，\( \ 75 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)での漂遊負荷損\( \ P_{75st} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{75st} &=&P_{25st}\cdot \left( \frac {235+25}{235+75}\right) \\[ 5pt ]
&=&79.759\times \frac {260}{310} \\[ 5pt ]
&≒&66.895 → 66.9 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)定格負荷，力率\( \ 0.8 \ \)で運転し，温度が\( \ 75 \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)のときの変圧器の規約効率\( \ \mathrm {[％]} \ \)
定格負荷\( \ S_{n}=100 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)，力率\( \ \cos \theta =0.8 \ \)であるため，このときの出力\( \ P_{n} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{n} &=&S_{n}\cos \theta \\[ 5pt ]
&=&100\times 0.8 \\[ 5pt ]
&=&80 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，無負荷損\( \ P_{i}=980 \ \mathrm {[W]} \ \)であるから，変圧器の規約効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{n}}{P_{n}+P_{i}+P_{75c}+P_{75st}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {80\times 10^{3}}{80\times 10^{3}+980+1 \ 240.3+66.895}\times 100 \\[ 5pt ]
&≒&97.2 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
【令和８年度版２種一次試験】
愛知県出身 愛称たけちゃん
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