《機械・制御》〈変圧器〉[R02:問2]単相変圧器の鉄損、銅損、最大効率の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆(易しい)

定格容量\( \ 100 \ \mathrm {kV\cdot A} \ \),定格一次電圧\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {V} \ \),定格二次電圧\( \ 440 \ \mathrm {V} \ \),定格周波数\( \ 60 \ \mathrm {Hz} \ \)の単相変圧器がある。この変圧器の一次換算全巻線抵抗は\( \ 2.72 \ \mathrm {\Omega } \ \)である。

この変圧器について,簡易等価回路を用いて次の問に答えよ。ただし,鉄損と銅損以外の損失は無視できるものとする。

(1) この変圧器の二次側の端子を開放して,一次側に定格周波数,定格一次電圧を印加したところ,一次側に\( \ 0.173 \ \mathrm {A} \ \)の電流が流れ,力率は\( \ 0.35 \ \)(遅れ)であった。鉄損\( \ W_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)を求めよ。

(2) 定格負荷で運転しているときの銅損\( \ W_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)を求めよ。

(3) 力率\( \ 100 \ \mathrm {%} \ \)で運転する場合に,効率が最大となる負荷率\( \ \mathrm {[%]} \ \)及びそのときの効率\( \ \mathrm {[%]} \ \)を求めよ。ただし,負荷率\( \ x \ \mathrm {[%]} \ \)とは負荷が変圧器定格容量の\( \ x \ \mathrm {[%]} \ \)であることとする。

(4) 負荷率\( \ 30 \ \mathrm {%} \ \)で力率\( \ 60 \ \mathrm {%} \ \)の負荷を接続した場合の効率\( \ \mathrm {[%]} \ \)を求めよ。

【ワンポイント解説】

変圧器の銅損や鉄損,最大効率等を公式に従って解く問題です。
きちんと勉強している方が確実に得点できる令和2年度の合格率を大きく引き上げた問題ではないかと思います。
試験ではこのような問題を素早く選択し,計算間違い等せずに確実に得点することが合格への近道となります。

1.変圧器の等価回路(一次換算)
変圧器の一次側等価回路を図1に示します。ただし,\( \ {\dot V}_{1} \ \)は一次側端子電圧,\( \ {\dot I}_{1} \ \)は一次電流,\( \ {\dot I}_{2} \ \)は二次電流,\( \ {\dot I}_{0} \ \)は励磁電流,\( \ r_{1} \ \)は一次巻線抵抗,\( \ r_{2} \ \)は二次巻線抵抗,\( \ x_{1} \ \)は一次漏れリアクタンス,\( \ x_{2} \ \)は二次漏れリアクタンス,\( \ a \ \)は変圧比(巻数比)となります。

2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \)があり,\( \ p_{\mathrm {i}} \ \)は負荷によらず一定であり,\( \ p_{\mathrm {c}} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って,定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ] &=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
次に,最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めます。上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,効率が最大となるためには,上式の分母が最小となれば良いです。よって,\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {dA}{d\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき,\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり,鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。

 ※ 本問題を解く上では,鉄損と銅損が等しい時,効率が最大となることを覚えていれば問題ありません。

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  変圧器の効率

【解答】

(1)鉄損\( \ W_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)
変圧器の二次側の端子を開放すると,図1における\( \ I_{\mathrm {2}} \ \)が\( \ 0 \ \mathrm {[A]} \ \)となるから,一次電流はすべて励磁回路を流れることになる。したがって,\( \ I_{\mathrm {0}}=0.173 \ \mathrm {[A]} \ \),力率\( \ \cos \theta _{\mathrm {0}}=0.35 \ \)であるから,\( \ W_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {i}} &=&V_{\mathrm {1}}I_{\mathrm {0}}\cos \theta _{\mathrm {0}} \\[ 5pt ] &=&6600\times 0.173 \times 0.35 \\[ 5pt ] &=&399.63 → 400 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)定格負荷で運転しているときの銅損\( \ W_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)
定格一次電流\( \ I_{\mathrm {1}} \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {1}} &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {1}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {100\times 10^{3}}{6600} \\[ 5pt ] &=&15.152 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,一次換算全巻線抵抗は\( \ R=2.72 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)であるから,定格負荷で運転しているときの銅損\( \ W_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {c}} &=&RI_{\mathrm {1}}^{2} \\[ 5pt ] &=&2.72\times 15.152^{2} \\[ 5pt ] &=&624.47 → 624 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)力率\( \ 100 \ \mathrm {%} \ \)で運転する場合に,効率が最大となる負荷率\( \ \mathrm {[%]} \ \)及びそのときの効率\( \ \mathrm {[%]} \ \)
力率\( \ 100 \ \mathrm {%} \ \)で負荷率\( \ x \ \)の時の効率は,ワンポイント解説「2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」より,
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {x P_{\mathrm {n}}}{x P_{\mathrm {n}}+W_{\mathrm {i}}+x ^{2}W_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,効率が最大となるのは\( \ W_{\mathrm {i}}=x ^{2}W_{\mathrm {c}} \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {i}} &=&x ^{2}W_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] x &=&\sqrt {\frac {W_{\mathrm {i}}}{W_{\mathrm {c}}}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {\frac {399.63}{624.47}} \\[ 5pt ] &≒&0.79997 → 80.0 \ \mathrm {[%]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。また,そのときの効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {m}}&=&\frac {x P_{\mathrm {n}}}{x P_{\mathrm {n}}+W_{\mathrm {i}}+x ^{2}W_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {x P_{\mathrm {n}}}{x P_{\mathrm {n}}+2W_{\mathrm {i}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.79997\times 100 \times 10^{3}}{0.79997\times 100 \times 10^{3}+2\times 399.63} \\[ 5pt ] &≒&0.99004 → 99.0 \ \mathrm {[%]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)負荷率\( \ 30 \ \mathrm {%} \ \)で力率\( \ 60 \ \mathrm {%} \ \)の負荷を接続した場合の効率\( \ \mathrm {[%]} \ \)
ワンポイント解説「2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」より,負荷率\( \ 30 \ \mathrm {%} \ \)で力率\( \ 60 \ \mathrm {%} \ \)の負荷を接続した場合の効率\( \ \eta _{\mathrm {30}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {30}} &=&\frac {x P_{\mathrm {n}}\cos \theta }{x P_{\mathrm {n}}\cos \theta +W_{\mathrm {i}}+x ^{2}W_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.30 \times 100 \times 10^{3}\times 0.60 }{0.30 \times 100 \times 10^{3}\times 0.60 +399.63+0.30 ^{2}\times 624.47} \\[ 5pt ] &≒&0.975 → 97.5 \ \mathrm {[%]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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