《理論》〈電子理論〉[H18:問6]真空中における一定電界中の電子の運動に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，真空中における一定電界中の電子の運動に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる式を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。なお，電子の質量を\( \ m_{0} \ \)，電荷量を\( \ -e \ \)とする。

図のように平行板電極中の一定電界\( \ E \ \)は電極に垂直な成分のみをもつ。電子を電極聞の一点\( \ x=0 \ \)に拘束しておき，時刻\( \ t=0 \ \)においてこれを自由にするものとする。このとき電子は負の電荷量\( \ -e \ \)を有するので，電界と逆方向に力\( \ \fbox {　 （１） 　} \ \)を受ける。この力の向きを座標\( \ x \ \)の正方向とする。電子の加速度は\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}} \ \)であるから，電子に関する運動方程式を立てれば，\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}}= \ \fbox {　 （２） 　} \ \)で表せる微分方程式が得られる。初期速度が零であることに注意し，これを積分すれば電子の速度\( \ \displaystyle v=\frac {\mathrm {d}x}{\mathrm {d}t}= \ \fbox {　 （３） 　} \ \)が得られる。さらに\( \ t=0 \ \)で電子は図の\( \ x=0 \ \)にあり，速度\( \ v \ \)を積分すれば，電子の走行距離\( \ x= \ \fbox {　 （４） 　} \ \ \)が求まる。これら二つの式から\( \ v \ \)と\( \ x \ \)の関係が得られ，速度は\( \ v= \ \fbox {　 （５） 　} \ \)となって\( \ x \ \)に対して直線的に変化しないことがわかる。

ただし，ここで電子の速度\( \ v \ \)は電子の質量\( \ m_{0} \ \)が変化しない範囲とする。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\sqrt {\frac {2eE}{m_{0}}x}　　　　　　　&（ロ）&　\frac {eE^{2}}{{m_{0}}^{2}}　　　　　　　&（ハ）&　m_{0}eE \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {eE}{m_{0}}t　　　　　&（ホ）&　\frac {eE^{2}}{2m_{0}}t^{2}　　　　　&（ヘ）&　\frac {E\sqrt {2ex}}{m_{0}} \\[ 5pt ] &（ト）&　eE　　　　　&（チ）&　\frac {eE^{2}}{m_{0}}t　　　　　&（リ）&　\frac {eE^{2}}{m_{0}} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {eE}{2m_{0}}t^{2}　　　　　&（ル）&　eE^{2}　　　　　&（ヲ）&　\frac {eE^{2}}{{m_{0}}^{2}}t \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {eE}{m_{0}}　　　　　&（カ）&　\frac {eE^{2}}{2{m_{0}}^{2}}t^{2}　　　　　&（ヨ）&　E\sqrt {\frac {2e}{m_{0}}x} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

電界中の電子の運動に関する問題です。
\( \ 2 \ \)種になると単純な電界と力の関係のみでなく，微分積分を扱う要素が求められます。加速度を積分すると速度，速度を積分すると距離になることは知っておきましょう。

1.電荷に働く力の大きさ
一様な電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)が電荷\( \ q \ \mathrm {[C]} \ \)に加わっているとき，この電荷\( \ q \ \mathrm {[C]} \ \)に働く力の大きさ\( \ F \ \mathrm {[N]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&qE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.運動方程式（力学）
質量\( \ m \ \mathrm {[kg]} \ \)の物体に力\( \ F \ \mathrm {[N]} \ \)が加わっている時，この物体にかかる加速度\( \ a \ \mathrm {[m / s^{2}]} \ \)との間には，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&ma \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

(1)解答：ト
電子が受ける力の大きさ\( \ F \ \)は，ワンポイント解説「1.電荷に働く力の大きさ」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&eE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められ，負電荷なので，電界と逆方向に力を受けます。

(2)解答：ワ
電子の加速度は\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}} \ \)なので，(1)及び運動方程式より，
\[
\begin{eqnarray}
eE &=&m_{0}\frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}} \\[ 5pt ] \frac {\mathrm {d}^{2}x}{\mathrm {d}t^{2}} &=&\frac {eE}{m_{0}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ニ
(2)解答式の両辺を\( \ t \ \)で積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}x}{\mathrm {d}t} &=&\int \frac {eE}{m_{0}} \mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{m_{0}} t+C　 ( \ C \ は積分定数 ) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，初期速度が零すなわち\( \ t=0 \ \)の時\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}x}{\mathrm {d}t}=0 \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
0&=&\frac {eE}{m_{0}} \times 0+C \\[ 5pt ] C&=&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}x}{\mathrm {d}t} &=&\frac {eE}{m_{0}} t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヌ
(3)解答式の両辺を\( \ t \ \)で積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
x &=&\int \frac {eE}{m_{0}} t \mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{2m_{0}} t^{2}+C^{\prime }　 ( \ C^{\prime } \ は積分定数 ) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，\( \ t=0 \ \)のとき\( \ x=0 \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
0&=&\frac {eE}{2m_{0}}\times 0^{2}+C^{\prime } \\[ 5pt ] C^{\prime }&=&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，
\[
\begin{eqnarray}
x&=&\frac {eE}{2m_{0}} t^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：イ
(3)解答式を\( \ t \ \)について整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
v &=&\frac {eE}{m_{0}} t \\[ 5pt ] t &=&\frac {m_{0}v}{eE} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，これを(4)解答式に代入すれば，
\[
\begin{eqnarray}
x&=&\frac {eE}{2m_{0}} t^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{2m_{0}} \left( \frac {m_{0}v}{eE}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {m_{0}v^{2}}{2eE} \\[ 5pt ] v^{2}&=&\frac {2eE}{m_{0}}x \\[ 5pt ] v&=&\sqrt {\frac {2eE}{m_{0}}x} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。