《理論》〈電子理論〉[H18:問8]負帰還増幅回路の雑音の増幅率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

次の文章は，負帰還増幅回路の雑音に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる語句又は式を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。ただし，\( \ v_{1} \ \)は入力信号電圧，\( \ v_{n1} \ \)は増幅器の入力で発生する雑音電圧，\( \ v_{n2} \ \)は増幅器の出力で発生する雑音電圧，\( \ v_{2} \ \)は出力電圧を表すものとする。また，図1の各ブロックは，それぞれ図2のような機能をもつものとする。

図1において，\( \ v_{1}=0 \ \)，\( \ v_{n2}=0 \ \)としたとき，\( \ v_{n1} \ \)に対する電圧増幅度\( \ G_{n1} \ \)を求めると，\( \ \displaystyle G_{n1}=\frac {v_{2}}{v_{n1}}= \ \fbox {　 （１） 　} \ \)である。また，\( \ v_{1}=0 \ \)，\( \ v_{n1}=0 \ \)としたとき，\( \ v_{n2} \ \)に対する電圧増幅度\( \ G_{n2} \ \)は，\( \ \displaystyle G_{n2}=\frac {v_{2}}{v_{n2}}= \ \fbox {　 （２） 　} \ \)である。ループ利得が\( \ 1 \ \)より十分に大きいと仮定できる場合，それぞれの電圧増幅度は，\( \ \displaystyle G_{n1}≒ \ \fbox {　 （３） 　} \ \)，\( \ \displaystyle G_{n2}≒ \ \fbox {　 （４） 　} \ \)と近似できる。したがって，出力電圧\( \ v_{2} \ \)には，\( \ \fbox {　 （５） 　} \ \ \)現れる。

〔問8の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {A}{1-AH}　　　　　&（ロ）&　A \\[ 5pt ] &（ハ）&　\frac {A}{1+AH}　　　　　&（ニ）&　\frac {1}{A} \\[ 5pt ] &（ホ）&　v_{n1} \ は増幅され，v_{n2} \ は減衰して　　　　　　　　　&（ヘ）&　\frac {1}{H} \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {H}{1+AH}　　　　　&（チ）&　AH \\[ 5pt ] &（リ）&　\frac {1}{1-AH}　　　　　&（ヌ）&　v_{n1} \ は減衰し，v_{n2} \ は増幅されて \\[ 5pt ] &（ル）&　\frac {AH}{1+AH}　　　　　&（ヲ）&　\frac {1}{AH} \\[ 5pt ] &（ワ）&　-\frac {1}{H}　　　　　&（カ）&　\frac {1}{1+AH} \\[ 5pt ] &（ヨ）&　v_{n1}，v_{n2} \ はともに減衰して && \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

負帰還増幅回路の雑音に対する電圧増幅率を考える問題です。
二次試験の自動制御で出題されるブロック線図のような考え方をしていけば解ける問題です。選択問題で出題される問題ですが，パターンも決まっていますので自信を持って選択できると良いでしょう。

1.負帰還増幅回路の電圧増幅率
図3において，出力電圧\( \ v_{\mathrm {out}} \ \)を帰還回路で\( \ \beta \ \)倍したものを入力電圧\( \ v_{\mathrm {in}} \ \)から差し引き，さらにそれを増幅回路で\( \ A \ \)倍したものが出力電圧\( \ v_{\mathrm {out}} \ \)となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\left( v_{\mathrm {in}}-\beta v_{\mathrm {out}} \right) A&=&v_{\mathrm {out}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。上式を整理すると，全体の増幅率\( \ \displaystyle \frac {v_{\mathrm {out}}}{v_{\mathrm {in}}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Av_{\mathrm {in}}-A\beta v_{\mathrm {out}} &=&v_{\mathrm {out}} \\[ 5pt ] v_{\mathrm {out}}+A\beta v_{\mathrm {out}} &=&Av_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] \left( 1+A\beta \right) v_{\mathrm {out}} &=&Av_{\mathrm {in}} \\[ 5pt ] \frac {v_{\mathrm {out}}}{v_{\mathrm {in}}}&=&\frac {A}{1+A\beta } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。さらに，\( \ A≫1 \ \)であるとすると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v_{\mathrm {out}}}{v_{\mathrm {in}}}&=&\frac {A}{1+A\beta } \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{\displaystyle \frac {1}{A}+\beta } \\[ 5pt ] &≃&\frac {1}{\beta } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：ハ
\( \ v_{1}=0 \ \)，\( \ v_{n2}=0 \ \)としたとき，各部の信号は図4のようになるので，関係式は，
\[
\begin{eqnarray}
A\left( v_{n1}-Hv_{2}\right) &=&v_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これを整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
Av_{n1}-AHv_{2} &=&v_{2} \\[ 5pt ] Av_{n1} &=&v_{2}+AHv_{2} \\[ 5pt ] &=&\left( 1+AH\right) v_{2} \\[ 5pt ] \frac {v_{2}}{v_{n1}}&=&\frac {A}{1+AH} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：カ
\( \ v_{1}=0 \ \)，\( \ v_{n1}=0 \ \)としたとき，各部の信号は図5のようになるので，関係式は，
\[
\begin{eqnarray}
v_{n2}-AHv_{2} &=&v_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これを整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{n2} &=&v_{2}+AHv_{2} \\[ 5pt ] &=&\left( 1+AH\right) v_{2} \\[ 5pt ] \frac {v_{2}}{v_{n2}}&=&\frac {1}{1+AH} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ヘ
(1)解答式において，ループ利得\( \ AH≫1 \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v_{2}}{v_{n1}}&=&\frac {A}{1+AH} \\[ 5pt ] &≃&\frac {A}{AH} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{H} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヲ
(2)解答式において，ループ利得\( \ AH≫1 \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v_{2}}{v_{n2}}&=&\frac {1}{1+AH} \\[ 5pt ] &≃&\frac {1}{AH} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ホ
(3)解答式において，\( \ 0 \lt H \lt 1 \ \)より\( \ \displaystyle \frac {v_{2}}{v_{n1}}=\frac {1}{H} \gt 1 \ \)であり，(4)解答式において\( \ AH≫1 \ \)より\( \ \displaystyle \frac {v_{2}}{v_{n2}}=\frac {1}{AH} \lt 1 \ \)であるので，出力電圧\( \ v_{2} \ \)は\( \ v_{n1} \ \)は増幅され，\( \ v_{n2} \ \)は減衰して現れることになる。