《理論》〈電気回路〉[H18:問5]重ねの理を用いた電流源を含む直流回路の解法に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，直流回路の電流計算の方法に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる語句又は数値を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

図に示す回路において，電流$ \ I \ \mathrm {[A]} \ $を重ねの理（重ね合わせの理）を用いて求めたい。

重ねの理を適用するに際して，電圧源の大きさを零にするとは，電圧源を取り除き回路側の端子を$ \ \fbox {　（１）　} \ $することを意味する。電流源の大きさを零にするとは，電流源を取り除き，回路側の端子に対して電圧源の場合とは反対（双対）の処理をすることを意味する。

まず，$ \ 6 \ \mathrm {[V]} \ $と$ \ 3 \ \mathrm {[V]} \ $の電圧源の大きさを零にしたとき，抵抗$ \ R=4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $に流れる電流$ \ I_{1} \ $を求めると，$ \ I_{1} = \ \fbox {　（２）　} \ \mathrm {[A]} \ $となる。

次に，$ \ 3 \ \mathrm {[V]} \ $の電圧源と$ \ 12 \ \mathrm {[A]} \ $の電流源の大きさを零にした回路について，抵抗$ \ R \ $を流れる電流$ \ I_{2} \ $を求めると，$ \ I_{2} = \ \fbox {　（３）　} \ \mathrm {[A]} \ $となる。

最後に$ \ 6 \ \mathrm {[V]} \ $の電圧源と$ \ 12 \ \mathrm {[A]} \ $の電流源の大きさを零にした回路について，抵抗$ \ R \ $を流れる電流$ \ I_{3} \ $を求めると，$ \ I_{3} = \ \fbox {　（４）　} \ \mathrm {[A]} \ $となる。

これよリ，重ねの理を用いて電流$ \ I \ $を求めると$ \ I = \ \fbox {　（５）　} \ \mathrm {[A]} \ $となる。

〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　短　絡　　　　　　　&（ロ）&　-0.1　　　　　　　&（ハ）&　1 \\[ 5pt ] &（ニ）&　2　　　　　&（ホ）&　0.1　　　　　&（ヘ）&　2.5 \\[ 5pt ] &（ト）&　3.25　　　　　&（チ）&　6　　　　　&（リ）&　-0.25 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　開　放　　　　　&（ル）&　5　　　　　&（ヲ）&　3 \\[ 5pt ] &（ワ）&　2.75　　　　　&（カ）&　4　　　　　&（ヨ）&　3.75 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

重ねの理を用いた直流回路の演算に関する問題です。
各電源の回路について図1～図3に示すような形で回路図を描き，どの抵抗が直列でどの抵抗が並列になるかを考えるとミスが防げるかと思います。
$ \ 2 \ $種になるとほとんどの受験生が基本公式はマスターしていると考えられますので，本問のような問題を確実にミスなく解けるようになることが重要です。

1.重ね（重ね合わせ）の理
複数の電源で構成された回路は，電源毎に計算した電流を重ね合わせて求めることができます。この時，電圧源は短絡，電流源は開放します。
したがって，本問の回路は図1～図3のように分けて考えることができ，電流$ \ I \ $は$ \ I=I_{1} +I_{2}+I_{3} \ $となります。

【解答】

(1)解答：イ
ワンポイント解説「1.重ね（重ね合わせ）の理」の通り，電圧源の大きさを零にすることは，電圧を$ \ 0 \ \mathrm {[V]} \ $すなわち短絡することを意味します。

(2)解答：ニ
図1の回路は$ \ 4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗と$ \ R=4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗が並列に接続され，それに$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗が直列に接続され，さらに一番上の$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗が並列に接続された回路となる。図1-1に示すように，$ \ 4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗と$ \ R=4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の合成抵抗は$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $であり，$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗も加えた合成抵抗は$ \ 4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $となる。したがって，中央の$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗に流れる電流$ \ {I_{1}}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ $は，分流の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
{I_{1}}^{\prime }&=&\frac {2}{4+2}\times 12 \\[ 5pt ] &=&4 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，求める電流$ \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ $は，分流の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {4}{4+4}\times {I_{1}}^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\frac {4}{4+4}\times 4 \\[ 5pt ] &=&2 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ハ
図2の回路は$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗と$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗が直列に接続され，それに$ \ 4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗が並列に接続され，さらに$ \ R=4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗が直列に接続された回路となる。図2-1に示すように，$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗と$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の直列合成抵抗は$ \ 4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $であり，$ \ 4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗も加えた合成抵抗は$ \ \displaystyle \frac {4\times 4}{4+4}=2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $となる。したがって，全体の合成抵抗は$ \ 6 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $となるので，$ \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}&=&\frac {6}{6} \\[ 5pt ] &=&1 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：リ
図3の回路は$ \ 4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗と$ \ R=4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗が並列に接続され，それに$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗が直列に接続され，さらに一番上の$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗が直列に接続された回路となる。図3-1に示すように，$ \ 4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の抵抗と$ \ R=4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の合成抵抗は$ \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $であるため，全体の合成抵抗は$ \ 2+2+2=6 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $となる。したがって，電源を流れる電流$ \ {I_{3}}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
{I_{3}}^{\prime }&=&\frac {3}{6} \\[ 5pt ] &=&0.5 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，分流の法則より求める電流$ \ I_{3} \ \mathrm {[A]} \ $は，電流の向きに注意すると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{3}&=&-\frac {4}{4+4}\times {I_{3}}^{\prime } \\[ 5pt ] &=&-\frac {4}{4+4}\times 0.5 \\[ 5pt ] &=&-0.25 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ワ
(2)～(4)より，電流$ \ I \ \mathrm {[A]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&I_{1}+I_{2}+I_{3} \\[ 5pt ] &=&2+1-0.25 \\[ 5pt ] &=&2.75 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。