《理論》〈電気及び電子計測〉[H21:問6]静電電圧計の原理に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，静電電圧計に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる語句，式又は数値を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

図1は静電電圧計の原理を示したものである。いま，可動電極及び固定電極間に測定電圧が加えられると可動電極は固定電極に吸引され，可動電極の移動により指針が回転することにより測定電圧に相当する指示を示す。図1において，可動電極及び固定電極間には空気のみ存在するものとし，その誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \)とする。いま，可動電極の面積を\( \ S \ \)，測定電圧を\( \ V \ \)，電極間の距離を\( \ r \ \)，電極間に蓄えられるエネルギーを\( \ W \ \)とすれば，両電極に働く力\( \ F \ \)（\( \ r \ \)が増加する方向を正とする）は\( \ \displaystyle F=\frac {\mathrm {d}W}{\mathrm {d}r} \ \)より，\( \ F= \ \fbox {　 （１） 　} \ \)となる。したがって，測定電圧の\( \ \fbox {　 （２） 　} \ \)乗に比例した力が生じ，力に比例した駆動トルクにより指針が回転する。静電電圧計は高電圧の測定に適し，\( \ \fbox {　 （３） 　} \ \)の計器である。

また，図2に示すように，測定範囲が最大\( \ 8 \ \mathrm {[kV]} \ \)，静電容量が\( \ 44 \ \mathrm {[pF]} \ \)の静電電圧計の測定範囲を\( \ 30 \ \mathrm {[kV]} \ \)及び\( \ 62 \ \mathrm {[kV]} \ \)に拡大する場合，静電電圧計に直列に接続するコンデンサの静電容量は，それぞれ\( \ C_{1}= \ \fbox {　 （４） 　} \ \mathrm {[pF]} \ \)，\( \ C_{2}= \ \fbox {　 （５） 　} \ \mathrm {[pF]} \ \)となる。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　341　　　　　&（ロ）&　16　　　　　&（ハ）&　2 \\[ 5pt ] &（ニ）&　121　　　　　&（ホ）&　-\frac {\varepsilon _{0}SV}{2r}　　　　　&（ヘ）&　直流専用 \\[ 5pt ] &（ト）&　-\frac {\varepsilon _{0}SV^{2}}{2r^{2}}　　　　　&（チ）&　1　　　　　&（リ）&　交流専用 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　165　　　　　&（ル）&　11　　　　　&（ヲ）&　-\frac {\varepsilon _{0}S}{2rV} \\[ 5pt ] &（ワ）&　-1　　　　　&（カ）&　交直両用　　　　　&（ヨ）&　64 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

静電形計器に関する問題ですが，ほぼ電磁気の能力を問う問題です。
電験\( \ 2 \ \)種では本問のように単純な知識ではなく，問題文を確認しながらその場で考えて解く問題も出題されます。
多くの問題に解き，問題慣れするようにして下さい。

1.電荷\( \ Q \ \)と静電容量\( \ C \ \)及び電圧\( \ V \ \)の関係
平行平板コンデンサにおいて，蓄えられる電荷\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \)と静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)及び電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

2.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)
平板間の誘電率を\( \ \varepsilon \ \mathrm {[F / m]} \ \)，平板の面積を\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)，平板間の間隔を\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)とすると，静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

3.平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)
平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，\( \ Q=CV \ \)の関係から，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}QV \\[ 5pt ] &=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

4.静電形計器
電極間に働くクーロン力を利用して電圧を測定する計器です。
片方の電極を可動電極にし，可動電極が動くことにより指針が回転します。
直流・交流とも測定可能で，高電圧を測定するのに適し，実効値を指示します。

出典：公益社団法人　日本電気技術者協会
ＵＲＬ：https://jeea.or.jp/course/contents/12117/

【解答】

(1)解答：ト
コンデンサの静電容量\( \ C \ \)は，ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon _{0}S}{r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるので，電極間に蓄えられるエネルギー\( \ W \ \)は，ワンポイント解説「3.平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\cdot \frac {\varepsilon _{0}S}{r}V^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}SV^{2}}{2r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。両電極に働く力\( \ F \ \)は\( \ \displaystyle F=\frac {\mathrm {d}W}{\mathrm {d}r} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&-\frac {\varepsilon _{0}SV^{2}}{2r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ハ
(1)解答式より，電極間には測定電圧の\( \ 2 \ \)乗に比例した力が働きます。

(3)解答：カ
ワンポイント解説「4.静電形計器」の通り，静電電圧計は交直両用の計器です。

(4)解答：ロ
\( \ V_{0}=8 \ \mathrm {[kV]} \ \)を静電容量\( \ C_{0}=44 \ \mathrm {[pF]} \ \)のコンデンサに加えたときに蓄えられる電荷\( \ Q_{0} \ \mathrm {[C]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{0} &=&C_{0}V_{0} \\[ 5pt ] &=&44\times 10^{-12}\times 8\times 10^{3} \\[ 5pt ] &=&3.52\times 10^{-7} \ \mathrm {[C]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，\( \ V_{1}=30 \ \mathrm {[kV]} \ \)を\( \ C_{1} \ \mathrm {[pF]} \ \)と\( \ C_{0}=44 \ \mathrm {[pF]} \ \)のコンデンサに加えたときも，両コンデンサに同じ電荷量が蓄えられなけばならないから，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{0} &=&C_{1}\left( V_{1}-V_{0}\right) \\[ 5pt ] C_{1}&=&\frac {Q_{0}}{V_{1}-V_{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3.52\times 10^{-7}}{30\times 10^{3}-8\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &=&1.6\times 10^{-11} \ \mathrm {[F]}　→　16 \ \mathrm {[pF]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ル
(4)と同様に，\( \ C_{2} \ \mathrm {[pF]} \ \)にも\( \ V_{2}=62 \ \mathrm {[kV]} \ \)を加えたときに同じ電荷量が蓄えられなければならないから，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{0} &=&C_{2}\left( V_{2}-V_{1}\right) \\[ 5pt ] C_{2}&=&\frac {Q_{0}}{V_{2}-V_{1}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3.52\times 10^{-7}}{62\times 10^{3}-30\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &=&1.1\times 10^{-11} \ \mathrm {[F]}　→　11 \ \mathrm {[pF]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。