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【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，三相リアクトルに関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。
図1のように，継鉄（横方向）部分の透磁率が無限大，脚（縦方向）部分の透磁率が\( \ \mu \ \)，長さが\( \ l \ \)，断面積が\( \ S \ \)である三相変圧器用三脚鉄心に，\( \ \mathrm {U} \ \)，\( \ \mathrm {V} \ \)，\( \ \mathrm {W} \ \)の三相巻線が施されている。巻数はすべて\( \ N \ \)回である。\( \ \mathrm {U} \ \)相巻線のみに電流\( \ I \ \)を流したとき，\( \ \mathrm {U} \ \)，\( \ \mathrm {V} \ \)，\( \ \mathrm {W} \ \)相鉄心に生じる磁界の強さをそれぞれ\( \ H_{1} \ \)，\( \ H_{2} \ \)，\( \ H_{3} \ \)とする。継鉄部分の磁界の強さは\( \ \fbox { （１） } \ \)と見なせる。\( \ \mathrm {U} \ \)相巻線と鎖交する磁束は\( \ 2 \ \)分され，それぞれが\( \ \mathrm {V} \ \)，\( \ \mathrm {W} \ \)相巻線と逆方向に鎖交して戻ると考えられるので，\( \ H_{2} = H_{3} \ \)である。したがって，図1の破線で示した積分路について，アンペールの周回積分の法則を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
&& \ \fbox { （２） } \ ・・・・・・・・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が与えられる。\( \ \mathrm {U} \ \)相鉄心に生じる磁束密度を\( \ B_{1} \ \)，\( \ \mathrm {V} \ \)，\( \ \mathrm {W} \ \)相鉄心に生じる磁束密度を\( \ B_{2} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
B_{1}&=& \mu H_{1} \\[ 5pt ]
B_{2}&=& \mu H_{2} \\[ 5pt ]
B_{1}&=&2B_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係が成り立つ。これらの関係から①式を\( \ B_{1} \ \)について解くと，
\[
\begin{eqnarray}
B_{1}&=& \ \fbox { （３） } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が得られる。\( \ \mathrm {U} \ \)相鉄心の磁束は\( \ \phi _{1}=B_{1}S \ \)，\( \ \mathrm {U} \ \)相巻線との総鎖交磁束は\( \ \mathit {\Phi }_{1}=N\phi _{1} \ \)であるから，この巻線の自己インダクタンス\( \ L \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
L&=& \ \fbox { （４） } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
である。
また，同様に\( \ 2 \ \)巻線間の相互インダクタンス\( \ M \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
M&=&\frac {1}{2}L ・・・・・・・・・・・・・・・ ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
である。
図2のように，このリアクトルを\( \ \mathrm {Y} \ \)結線とし，対称三相交流電源に接続した場合，各相の電圧をそれぞれ\( \ {\dot V}_{\mathrm {U}} \ \)，\( \ {\dot V}_{\mathrm {V}} \ \)，\( \ {\dot V}_{\mathrm {W}} \ \)，各相の電流をそれぞれ\( \ {\dot I}_{\mathrm {U}} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {V}} \ \)，\( \ {\dot I}_{\mathrm {W}} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
{\dot V}_{\mathrm {U}} \\
{\dot V}_{\mathrm {V}} \\
{\dot V}_{\mathrm {W}}
\end{bmatrix}
&=&\mathrm {j}\omega
\begin{bmatrix}
L & M & M \\
M & L & M \\
M & M & L
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\dot I}_{\mathrm {U}} \\
{\dot I}_{\mathrm {V}} \\
{\dot I}_{\mathrm {W}}
\end{bmatrix} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係が成り立つ。ただし，巻線の抵抗は無視できるものとする。\( \ {\dot V}_{\mathrm {U}} \ \)についての関係式は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {U}}&=&\mathrm {j}\omega \left( L{\dot I}_{\mathrm {U}}+M{\dot I}_{\mathrm {V}}+M{\dot I}_{\mathrm {W}}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，②式より，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {U}}&=&\mathrm {j}\omega L\left( {\dot I}_{\mathrm {U}}+\frac {1}{2}{\dot I}_{\mathrm {V}}+\frac {1}{2}{\dot I}_{\mathrm {W}}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と変形できる。相間の位相差が\( \ \displaystyle \frac {2\pi }{3} \ \)であることに注意してベクトル合成すると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {U}}&=& \ \fbox { （５） } \ \mathrm {j}\omega L{\dot I}_{\mathrm {U}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。
〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& H_{1}l+H_{2}l=N^{2}I &（ロ）& \frac {3\mu NI}{2l} &（ハ）& \frac {2\mu NS}{3l} \\[ 5pt ]
&（ニ）& H_{1} &（ホ）& \frac {2\mu N^{2}S}{3l} &（ヘ）& \infty \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {1}{\sqrt{3}} &（チ）& H_{1}l+H_{2}l=NI &（リ）& \frac {\mu N^{2}S}{l} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {2\mu NI}{3l} &（ル）& \frac {1}{\sqrt{2}} &（ヲ）& 0 \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {\mu NI}{l} &（カ）& \frac {1}{2} &（ヨ）& H_{1}l=NI \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
三相リアクトルに関する問題で，問題文が長く受験生を混乱させるような内容となっていますが，しっかりと基本公式を理解していれば解ける問題です。
試験本番でも見た目に騙されない様，あまり焦らず落ち着いて解くようにしましょう。
1.アンペールの周回積分の法則
図3の示すような，電流\( \ I \ \)が流れている環状ソレノイドの中心に発生する磁界の大きさ\( \ H \ \)には，アンペールの周回積分の法則が適用され，
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&\int H \mathrm {d}l \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が成立します。ソレノイド中心部の磁界が等しいとすれば，
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&Hl \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.磁束密度\( \ B \ \)と磁界の強さ\( \ H \ \)の関係
透磁率が\( \ \mu \ \)の時，磁束密度\( \ B \ \)と磁界の大きさ\( \ H \ \)の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\mu H \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.ファラデーの電磁誘導の法則と自己インダクタンス\( \ L \ \)
図4において，巻数\( \ N \ \)のコイルを貫通する磁束\( \ \phi \ \)があるとき，ファラデーの電磁誘導の法則より，コイルに発生する誘導起電力\( \ e \ \)は，磁束の時間変化に比例し，
\[
\begin{eqnarray}
e&=&−N\frac {\mathrm {d}\phi }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。これをファラデーの電磁誘導の法則といいます。このとき，電流変化によりコイル内の磁束が変化したと考えれば，
\[
\begin{eqnarray}
e&=&−L\frac {\mathrm {d}I }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
という関係も成り立ち，\( \ L \ \)を自己インダクタンスと言います。これらの関係から，
\[
\begin{eqnarray}
−N\frac {\mathrm {d}\phi }{\mathrm {d}t}&=&−L\frac {\mathrm {d}I }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
N\phi &=&LI \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
【解答】
(1)解答：ヲ
ワンポイント解説「2.磁束密度\( \ B \ \)と磁界の強さ\( \ H \ \)の関係」より，透磁率が\( \ \mu \ \)の時，磁界の大きさ\( \ H \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
H&=&\frac {B}{\mu } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，継鉄部分の透磁率\( \ \mu \ \)が無限大であることから，
\[
\begin{eqnarray}
H&≒&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となることがわかる。
(2)解答：チ
アンペールの周回積分の法則を図1に適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&\int H \mathrm {d}l \\[ 5pt ]
&=& H_{1}l+H_{2}l \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ヌ
(2)の解答式に，\( \ \displaystyle H_{1}=\frac {B_{1}}{\mu } \ \)，\( \ \displaystyle H_{2}=\frac {B_{2}}{\mu }=\frac {B_{1}}{2\mu } \ \)を代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
NI&=& \frac {B_{1}}{\mu }\cdot l+\frac {B_{1}}{2\mu }\cdot l \\[ 5pt ]
&=& \frac {3B_{1}l}{2\mu } \\[ 5pt ]
B_{1}&=& \frac {2\mu NI}{3l} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ホ
題意より，\( \ \mathrm {U} \ \)相巻線との総鎖交磁束は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi }_{1}&=&N\phi _{1} \\[ 5pt ]
&=&NB_{1}S \\[ 5pt ]
&=& \frac {2\mu N^{2}IS}{3l}\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，ワンポイント解説「3.ファラデーの電磁誘導の法則と自己インダクタンス\( \ L \ \)」の通り，自己インダクタンス\( \ L \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
LI&=&N\phi _{1} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\mu N^{2}IS}{3l} \\[ 5pt ]
L&=& \frac {2\mu N^{2}S}{3l}\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：カ
\( \ \mathrm {U} \ \)相電圧\( \ {\dot V}_{\mathrm {U}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {U}}&=&\mathrm {j}\omega L\left( {\dot I}_{\mathrm {U}}+\frac {1}{2}{\dot I}_{\mathrm {V}}+\frac {1}{2}{\dot I}_{\mathrm {W}}\right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\mathrm {j}\omega L\left( 2{\dot I}_{\mathrm {U}}+{\dot I}_{\mathrm {V}}+{\dot I}_{\mathrm {W}}\right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\mathrm {j}\omega L\left\{ {\dot I}_{\mathrm {U}}+\left( {\dot I}_{\mathrm {U}}+{\dot I}_{\mathrm {V}}+{\dot I}_{\mathrm {W}}\right) \right\} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と整理され，対称三相交流電源においては，\( \ {\dot I}_{\mathrm {U}}+{\dot I}_{\mathrm {V}}+{\dot I}_{\mathrm {W}}=0 \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {U}}&=&\frac {1}{2}\mathrm {j}\omega L{\dot I}_{\mathrm {U}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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