【問題】
【難易度】★★★★★（難しい）
次の文章は，\( \ RC \ \)回路の過渡現象に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。
図に示す二つの直流電圧源\( \ E_{1} \ \)と\( \ E_{2} \ \)に接続された\( \ RC \ \)回路を考える。ただし，\( \ E_{1}＞E_{2} \ \)かつ静電容量\( \ C \ \)のコンデンサの初期電荷は零とする。\( \ t=0 \ \mathrm {[s]} \ \)でスイッチ\( \ \mathrm {S}_{1} \ \)及び\( \ \mathrm {S}_{2} \ \)を閉じた。コンデンサの電流\( \ i_{\mathrm {C}}\left( t \right) =C\displaystyle \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) \ \)に着目すると，キルヒホッフの電流則により
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) &=&\frac {E_{1}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{1}}+\frac {E_{2}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。
コンデンサの初期電荷は零の仮定により，\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t \right) \ \)の初期値は\( \ 0 \ \mathrm {[V]} \ \)である。\( \ t→+\infty \ \)で\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t \right) →V_{\mathrm {C}} \ \)とおくと，\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t \right) = V_{\mathrm {C}}\left( 1-\mathrm {e}^{-\fbox { （１） }\times t} \right) \ \)となる。
抵抗\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)を流れる電流\( \ i_{1}\left( t \right) \ \)と\( \ i_{2}\left( t \right) \ \)の表式は，\( \ t→+\infty \ \)で\( \ \begin{bmatrix} i_{1}\left( t \right) \\ i_{2}\left( t \right) \end{bmatrix}→\begin{bmatrix} I_{1} \\ I_{2} \end{bmatrix} \ \)とおくと，\( \ \begin{bmatrix} i_{1}\left( t \right) \\ i_{2}\left( t \right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} i_{1}\left( 0 \right) \\ i_{2}\left( 0 \right) \end{bmatrix}\mathrm {e}^{-\fbox { （１） }\times t}+\begin{bmatrix} I_{1} \\ I_{2} \end{bmatrix}\left( 1-\mathrm {e}^{-\fbox { （１） }\times t} \right) \ \)となる。
このとき，\( \ i_{1}\left( 0 \right) +i_{2}\left( 0 \right) =\fbox { （２） } \ \)，\( \ I_{1}=-I_{2}=\fbox { （３） } \ \)である。
\( \ E_{1}＞E_{2} \ \)の仮定により，ある時刻\( \ t_{0} \ \)( \( \ t_{0}＞0 \ \) )を境にして，\( \ 0＜t＜t_{0} \ \)では，\( \ i_{\mathrm {C}}\left( t \right) ＞i_{1}\left( t \right) \ \)であったのが，\( \ t_{0}＜t \ \)では，\( \ i_{\mathrm {C}}\left( t \right) ＜i_{1}\left( t \right) \ \)に変化する。その変化の瞬間の時刻\( \ t_{0} \ \)では\( \ i_{\mathrm {C}}\left( t_{0} \right) =\fbox { （４） } \ \)である。また，時刻\( \ t_{0} \ \)から\( \ t→+\infty \ \)までのコンデンサの電荷の増加量は\( \ \fbox { （５） } \ \)となる。
〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {E_{1}-E_{2}}{R_{1}+R_{2}} &（ロ）& \frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {E_{2}}{R_{2}} &（ハ）& C\left( \frac {E_{1}-E_{2}}{2}\right) \frac {R_{2}}{R_{1}} \\[ 5pt ]
&（ニ）& \frac {E_{1}}{R_{1}+R_{2}} &（ホ）& \frac {CR_{2}\left( E_{1}-E_{2}\right) }{R_{1}+R_{2}} &（ヘ）& \frac {E_{1}}{R_{2}} \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {E_{1}}{R_{1}} &（チ）& \frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}+R_{2}}\right) &（リ）& C\left( \frac {E_{1}+E_{2}}{2}\right) \frac {R_{1}}{R_{2}} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& -\frac {E_{2}}{R_{2}} &（ル）& -\frac {E_{1}}{R_{1}+R_{2}} &（ヲ）& \frac {E_{1}-E_{2}}{R_{1}} \\[ 5pt ]
&（ワ）& -\frac {E_{2}}{R_{1}} &（カ）& \frac {1}{C}\left( \frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right) &（ヨ）& \frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
過渡現象に関する問題においてもかなり難易度が高く，計算量も多いので，そのまま電験一種に出題されても良いのではと思う問題です。途中の分数の計算を丁寧に行い，確実に得点できるようにしましょう。
1.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ．定常解を\( \ i_{\mathrm {s}} \ \)，過渡解を\( \ i_{\mathrm {t}} \ \)とすると，電流値\( \ i \ \)は\( \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ \)となります。
ⅱ．定常解は電流の時間変化のない状態すなわち\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ \)とした時の解です。
ⅲ．過渡解はスイッチを入れた直後の解です。
2.過渡現象における\(RLC\)それぞれの電圧
線路に流れる電流を\( \ i \ \)とし，抵抗\( \ R \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{R}} \ \)，リアクトル\( \ L \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{L}} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{C}} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm{R}} &=& Ri \\[ 5pt ]
V_{\mathrm{L}} &=& L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
V_{\mathrm{C}} &=& \frac {1}{C}\int i \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
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【解答】
(1)解答：ヨ
題意より，回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) &=&\frac {E_{1}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{1}}+\frac {E_{2}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
すなわち，
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) +\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) v_{\mathrm {C}}\left( t \right) &=&\frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {E_{2}}{R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で与えられるので，定常解\( \ v_{\mathrm {Cs}}=V_{\mathrm {C}} \ \)は，\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) =0 \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) v_{\mathrm {Cs}}&=&\frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {E_{2}}{R_{2}} \\[ 5pt ]
v_{\mathrm {Cs}}&=&\frac {\displaystyle \frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {E_{2}}{R_{2}}}{\displaystyle \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。また，過渡解を\( \ v_{\mathrm {Ct}} \ \)とおくと，
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {Ct}}+\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) v_{\mathrm {Ct}}&=&0 \\[ 5pt ]
\frac {1}{v_{\mathrm {Ct}}}\mathrm {d}v_{\mathrm {Ct}}&=&-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と変数分離できるので，両辺積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\ln v_{\mathrm {Ct}}&=&-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) t +C^{\prime } \\[ 5pt ]
v_{\mathrm {Ct}}&=&A\mathrm {e}^{-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求めることができる。よって，一般解\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t \right) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {C}}\left( t \right)&=&v_{\mathrm {Cs}}+v_{\mathrm {Ct}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}+A\mathrm {e}^{-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。コンデンサの初期電荷が零であるから，\( \ v_{\mathrm {C}}\left( 0 \right) =0 \ \)となるため，
\[
\begin{eqnarray}
0&=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}+A\mathrm {e}^{-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) \times 0} \\[ 5pt ]
0&=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}+A \\[ 5pt ]
A&=&-\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {C}}\left( t \right)&=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}+A\mathrm {e}^{-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) t} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}-\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}\mathrm {e}^{-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) t} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}\left\{ 1-\mathrm {e}^{-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) t}\right\} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ロ
(1)より，コンデンサに流れる電流\( \ i_{\mathrm {C}}\left( t \right) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
i_{\mathrm {C}}\left( t \right) &=&C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{1}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{1}}+\frac {E_{2}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるから，\( \ v_{\mathrm {C}}\left( 0 \right) =0\ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
i_{\mathrm {C}}\left( 0 \right) &=&i_{1}\left( 0 \right) +i_{2}\left( 0 \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {E_{2}}{R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：イ
(2)と同様に，\( \ \displaystyle v_{\mathrm {Cs}}=V_{\mathrm {C}}=\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}} \ \)を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {E_{1}-V_{\mathrm {C}}}{R_{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle E_{1}-\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{R_{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( R_{1}+R_{2}\right) E_{1}-\left( R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}\right) }{R_{1}\left( R_{1}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{1}\left( E_{1}-E_{2}\right) }{R_{1}\left( R_{1}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{1}-E_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}&=&\frac {E_{2}-V_{\mathrm {C}}}{R_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle E_{2}-\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{R_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( R_{1}+R_{2}\right) E_{2}-\left( R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}\right) }{R_{2}\left( R_{1}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{2}\left( E_{2}-E_{1}\right) }{R_{2}\left( R_{1}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{2}-E_{1}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ]
&=&-I_{1} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ヲ
題意より，時刻\( \ t_{0} \ \)は，\( \ i_{2}\left( t_{0} \right) =0\ \)となる時刻であるため，\( \ R_{2} \ \)での電圧降下がなく，\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t_{0} \right) = E_{2} \ \)となる。したがって，
\[
\begin{eqnarray}
i_{\mathrm {C}}\left( t_{0} \right)&=&i_{1}\left( t_{0} \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{1}-E_{2}}{R_{1}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ホ
\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t_{0} \right) = E_{2} \ \)及び\(\displaystyle \ v_{\mathrm {C}}\left( \infty \right) = \displaystyle V_{\mathrm {C}}=\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}} \ \)より，時刻\( \ t_{0} \ \)から\( \ t→+\infty \ \)までのコンデンサの電荷の増加量\( \ \Delta Q \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\Delta Q &=&C\left( \frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}-E_{2}\right) \\[ 5pt ]
&=&C\left\{ \frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}-\left( R_{1}+R_{2}\right) E_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right\} \\[ 5pt ]
&=&\frac {CR_{2}\left( E_{1}-E_{2}\right) }{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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