《理論》〈電気回路〉[R08:問6]RLCを組み合わせた回路の過渡現象に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，電気回路の過渡現象に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

直流電圧$ \ E \ $の電圧源，抵抗値$ \ R \ $の二つの抵抗，静電容量$ \ C \ $のコンデンサ，インダクタンス$ \ L \ $のコイル，スイッチ$ \ \mathrm {S_{1}} \ $，$ \ \mathrm {S_{2}} \ $で構成された回路があり，図に示すように，回路は$ \ \mathrm {S_{1}}: \ $閉，$ \ \mathrm {S_{2}}: \ $開の状態で定常状態にある。

時刻$ \ t=0 \ $において$ \ \mathrm {S_{2}} \ $を閉じ，その後，$ \ t=t_{0} \ $において$ \ \mathrm {S_{1}} \ $を開いた。$ \ 0≦ t \lt t_{0} \ $においてコンデンサに流れる電流$ \ i_{\mathrm {C}} (t) \ $は$ \ \fbox {　（１）　} \ $，コイルに流れる電流$ \ i_{\mathrm {L}} (t) \ $は$ \ \fbox {　（２）　} \ $と表される。

$ \ t≧t_{0} \ $において，$ \ i_{\mathrm {L}} (t) \ $とコンデンサの上側電極における電荷$ \ q (t) \ $とは$ \ \fbox {　（３）　} \ $の関係があることから，$ \ i_{\mathrm {L}} (t) \ $を求めるための回路方程式は$ \ \fbox {　（４）　} \ $となる。

$ \ t_{0} \ $が十分に大きい場合，$ \ \mathrm {S_{1}} \ $を開いてから十分な時間が経過する間に二つの抵抗で消費されるエネルギーは$ \ \fbox {　（５）　} \ $と表される。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {E}{R}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t}\right)　　　　　&（ロ）&　i_{\mathrm {L}} (t)=\frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] &（ハ）&　L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {L}} (t)}{\mathrm {d}t} + \frac {q (t)}{C}=0　　　　　&（ニ）&　\frac {E}{R}\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ] &（ホ）&　\frac {E}{R}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}\right)　　　　　&（ヘ）&　i_{\mathrm {L}} (t)=\frac {1}{C}\frac {\mathrm {d}q(t)}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] &（ト）&　0　　　　　&（チ）&　i_{\mathrm {L}} (t)=-\frac {\mathrm {d}q(t)}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] &（リ）&　\frac {1}{2}CE^{2}+\frac {1}{2}L\left( \frac {E}{R}\right) ^{2}　　　　　&（ヌ）&　\frac {E}{R}\mathrm {e}^{-\frac {1}{CR}t} \\[ 5pt ] &（ル）&　\frac {E}{L}\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}　　　　　　&（ヲ）&　\frac {1}{2}CE^{2} \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {1}{2}CE^{2}-\frac {1}{2}L\left( \frac {E}{R}\right) ^{2}　　　　　&（カ）&　2Ri_{\mathrm {L}} (t)+L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {L}} (t)}{\mathrm {d}t} + \frac {q (t)}{C}=0 \\[ 5pt ] &（ヨ）&　2Ri_{\mathrm {L}} (t)+L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {L}} (t)}{\mathrm {d}t} – \frac {q (t)}{C}=0　&& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

抵抗，コンデンサ，コイル，を組み合わせた回路の過渡現象に関する問題です。
よくある典型的な過渡現象の問題で，過渡現象の内容を理解するにはとても良い問題かと思います。
過渡現象の内容はいかに多くの内容を理解するかが重要なので，一問一問確実に理解していくようにして下さい。

1.過渡現象における$ \ RLC \ $それぞれの電圧
過渡現象における$ \ RLC \ $それぞれの電圧は，線路に流れる電流を$ \ i \ \mathrm {[A]} \ $とし，抵抗$ \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の電圧$ \ v_{\mathrm{R}} \ \mathrm {[V]} \ $，リアクトル$ \ L \ \mathrm {[H]} \ $の電圧$ \ v_{\mathrm{L}} \ \mathrm {[V]} \ $，コンデンサ$ \ C \ \mathrm {[F]} \ $の電圧$ \ v_{\mathrm{C}} \ \mathrm {[V]} \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm{R}} &=& Ri \\[ 5pt ] v_{\mathrm{L}} &=& L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] v_{\mathrm{C}} &=& \frac {1}{C}\int i \mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。微分と積分は逆の関係があるので，各電圧から電流$ \ i \ \mathrm {[A]} \ $を求める式は，
\[
\begin{eqnarray}
i &=& \frac {v_{\mathrm{R}}}{R} \\[ 5pt ] i &=& \frac {1}{L}\int v_{\mathrm{L}} \mathrm {d}t \\[ 5pt ] i &=& C\frac {\mathrm {d}v_{\mathrm{C}}}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ．定常解を$ \ i_{\mathrm {s}} \ $，過渡解を$ \ i_{\mathrm {t}} \ $とすると，一般解$ \ i \ $は$ \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ $となります。
ⅱ．定常解は電流の時間変化のない状態すなわち$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ $とした時の解です。
ⅲ．過渡解はスイッチをオンまたはオフした直後の解で，直前の電圧や電流から変化する時の解です。

3.自然対数の微分積分
①自然対数の微分
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \left( \ln {x}\right) &=&\frac {1}{x}　\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②自然対数の積分
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{x} \mathrm {d}x &=&\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right)　\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，
\[
\begin{eqnarray}
\ln {x}&=&-\alpha t +C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となった場合，対数を外すと，
\[
\begin{eqnarray}
x&=&A\mathrm {e}^{-\alpha t} \left( A=\mathrm {e}^{C}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.自己インダクタンス$ \ L \ $と蓄積される電磁エネルギー$ \ W \ $の関係式
自己インダクタンス$ \ L \ \mathrm {[H]} \ $のコイルに電流$ \ I \ \mathrm {[A]} \ $を流し，十分時間が経過した時にコイルに蓄えられるエネルギー$ \ W \ \mathrm {[J]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}LI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

4.コンデンサの静電エネルギー$ \ W \ $
コンデンサの静電容量$ \ C \ \mathrm {[F]} \ $に電圧$ \ V \ \mathrm {[V]} \ $が加わっているとすると，十分時間が経過した時にコンデンサに蓄えられる静電エネルギー$ \ W \ \mathrm {[J]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，$ \ Q=CV \ $の関係から，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}QV \\[ 5pt ] &=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：ト
ワンポイント解説「2.過渡現象における定常解と過渡解」の通り，$ \ t \lt 0 \ $において定常状態であるため，コンデンサには電荷が十分に蓄えられている状態でコンデンサ電圧は$ \ E \ $である。その後，$ \ \mathrm {S_{2}} \ $を閉じても電圧は変化しない。したがって，$ \ \mathrm {S_{2}} \ $を閉じても電流は流れず$ \ i_{\mathrm {C}} (t) = 0 \ $と求められる。

(2)解答：ホ
(1)解答の通り，$ \ 0≦ t < t_{0} \ $においては，コンデンサには電流が流れないので，回路は図1の状態であると考えればよい。図1において，回路方程式は， \[ \begin{eqnarray} L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {L}}}{\mathrm {d}t}+Ri_{\mathrm {L}}&=&E \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] となる。過渡解を$ \ i_{\mathrm {Lt}} \ $とすれば，$ \ E=0 \ $とすればよいので， \[ \begin{eqnarray} L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {Lt}}}{\mathrm {d}t}+Ri_{\mathrm {Lt}}&=&0 \\[ 5pt ] L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {Lt}}}{\mathrm {d}t}&=&-Ri_{\mathrm {Lt}} \\[ 5pt ] \frac {1}{i_{\mathrm {Lt}}}\mathrm {d}i_{\mathrm {Lt}}&=&-\frac {R}{L}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] となり，両辺積分すると， \[ \begin{eqnarray} \int \frac {1}{i_{\mathrm {Lt}}}\mathrm {d}i_{\mathrm {Lt}}&=&-\int \frac {R}{L}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \ln i_{\mathrm {Lt}}&=&-\frac {R}{L}t+C　\left( C \ は積分定数\right) \\[ 5pt ] i_{\mathrm {Lt}}&=&A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}　\left( A=\mathrm {e}^{C}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] となる。一方，定常解を$ \ i_{\mathrm {Ls}} \ $とすれば，$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {L}}}{\mathrm {d}t}=0 \ $とすればよいので， \[ \begin{eqnarray} Ri_{\mathrm {Ls}}&=&E \\[ 5pt ] i_{\mathrm {Ls}}&=&\frac {E}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] となる。したがって，一般解$ \ i_{\mathrm {L}} \ $は， \[ \begin{eqnarray} i_{\mathrm {L}}&=&i_{\mathrm {Ls}}+i_{\mathrm {Lt}} \\[ 5pt ] &=&\frac {E}{R}+A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] となる。$ \ t=0 \ $のとき，$ \ i_{\mathrm {L}}=0 \ $であるから， \[ \begin{eqnarray} 0&=&\frac {E}{R}+A\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}\times 0} \\[ 5pt ] 0&=&\frac {E}{R}+A \\[ 5pt ] A&=&-\frac {E}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] となるので， \[ \begin{eqnarray} i_{\mathrm {L}}&=&\frac {E}{R}-\frac {E}{R}\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t} \\[ 5pt ] &=&\frac {E}{R}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] と求められる。

(3)解答：チ
$ \ t≧t_{0} \ $においては，図2に示すようにコンデンサに蓄えられた電荷が放電されるので，
\[
\begin{eqnarray}
i_{\mathrm {L}} (t)&=&-\frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヨ
図2に示す閉回路の回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
Ri_{\mathrm {L}} (t)+Ri_{\mathrm {L}} (t)+L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {L}} (t)}{\mathrm {d}t} &=&\frac {q (t)}{C} \\[ 5pt ] 2Ri_{\mathrm {L}} (t)+L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {L}} (t)}{\mathrm {d}t} – \frac {q (t)}{C}&=&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：リ
$ \ t_{0} \ $が十分に大きい場合，，$ \ t=t_{0} \ $において，コンデンサとコイルに蓄えられるエネルギーの合計$ \ W \ $は，(2)で求めた定常解$ \ i_{\mathrm {Ls}} \ $で考えればよいので，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {1}{2}CE^{2}+\frac {1}{2}L{i_{\mathrm {Ls}} }^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}CE^{2}+\frac {1}{2}\left( \frac {E}{R}\right) ^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，その後十分な時間が経過すると，このエネルギーがすべて抵抗で消費されることになる。