《電力》〈配電〉[H21:問17]電力用コンデンサを接続したときの無効電力と力率の変化に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

配電線に\( \ 100 \ \mathrm {[kW]} \ \)，遅れ力率\( \ 60 \ \mathrm {[％]} \ \)の三相負荷が接続されている。

この受電端に\( \ 45 \ \mathrm {[kvar]} \ \)の電力用コンデンサを接続した。次の(a)及び(b)に答えよ。

ただし，電力用コンデンサ接続前後の電圧は変わらないものとする。

(a)　電力用コンデンサを接続した後の受電端の無効電力\( \ \mathrm {[kvar]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 56 \ \)　　(2)　\( \ 60 \ \)　　(3)　\( \ 75 \ \)　　(4)　\( \ 88 \ \)　　(5)　\( \ 133 \ \)

(b)　電力用コンデンサ接続前と後の力率\( \ \mathrm {[％]} \ \)の差の大きさとして，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 5 \ \)　　(2)　\( \ 15 \ \)　　(3)　\( \ 25 \ \)　　(4)　\( \ 55 \ \)　　(5)　\( \ 75 \ \)

【ワンポイント解説】

電力用コンデンサを接続した配電系統の無効電力と力率の変化を求める問題です。
力率改善の問題は毎年のように出題される問題です。本問は比較的取り組みやすい問題になると思いますので，完答できるように準備しておいて下さい。

1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。

2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図4のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。図4において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ] P &=&RI^{2} \\[ 5pt ] Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。

【解答】

(a)解答：(4)
図6のように三相負荷の電力\( \ P=100 \ \mathrm {[kW]} \ \)，遅れ力率\( \ \cos \theta =0.6 \ \)及び電力用コンデンサの容量\( \ Q_{\mathrm {C}}=45 \ \mathrm {[kvar]} \ \)とおく。
負荷の\( \ \sin \theta \ \)は，\( \ \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1 \ \)の関係より，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1-0.6^{2}} \\[ 5pt ] &=&0.8 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，負荷の無効電力\( \ Q \ \mathrm {[kvar]} \ \)は，ワンポイント解説「2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)」図4の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&P\tan \theta \\[ 5pt ] &=&P\frac {\sin \theta }{\cos \theta } \\[ 5pt ] &=&100\times \frac {0.8}{0.6} \\[ 5pt ] &≒&133.3 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，電力用コンデンサを接続した後の受電端の無効電力\( \ Q^{\prime } \ \mathrm {[kvar]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q^{\prime } &=&Q-Q_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ] &=&133.3-45 \\[ 5pt ] &=&88.3 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(2)
電力用コンデンサ接続後の力率\( \ \cos \theta ^{\prime } \ \)は，ワンポイント解説「2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta ^{\prime } &=&\frac {P}{\sqrt {P^{2}+{Q^{\prime }}^{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{\sqrt {100^{2}+{88.3^{\prime }}^{2}}} \\[ 5pt ] &≒&0.7496 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるので，電力用コンデンサ接続前後の力率の差は，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta ^{\prime } -\cos \theta &=&0.7496-0.6 \\[ 5pt ] &≒&0.150　→　15 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。