《電力》〈送電〉[H21:問16]系統の百分率インピーダンスと三相短絡電流に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図のような交流三相\( \ 3 \ \)線式の系統がある。各系統の基準容量と基準容量をベースにした百分率インピーダンスが図に示された値であるとき，次の(a)及び(b)に答えよ。

(a)　系統全体の基準容量を\( \ 50 \ 000 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)に統一した場合，遮断器の設置場所からみた合成百分率インピーダンス\( \ \mathrm {[％]} \ \)の値として，正しいのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 4.8 \ \)　　(2)　\( \ 12 \ \)　　(3)　\( \ 22 \ \)　　(4)　\( \ 30 \ \)　　(5)　\( \ 48 \ \)

(b)　遮断器の投入後，\( \ \mathrm {A} \ \)点で三相短絡事故が発生した。三相短絡電流\( \ \mathrm {[A]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

ただし，線間電圧は\( \ 66 \ \mathrm {[kV]} \ \)とし, 遮断器から\( \ \mathrm {A} \ \)点までのインピーダンスは無視するものとする。

　(1)　\( \ 842 \ \)　　(2)　\( \ 911 \ \)　　(3)　\( \ 1 \ 458 \ \)　　(4)　\( \ 2 \ 104 \ \)　　(5)　\( \ 3 \ 645 \ \)

【ワンポイント解説】

系統における三相短絡電流を求める問題です。
(a)より(b)の計算量が少なく，(a)が解ける受験生は(b)も解ける場合が多くなるため，点数差がつきやすい問題です。こういう問題を解けるかどうかが合否に大きく影響しますから，計算間違いのないように確実に得点できるようにしましょう。

1.オーム法から百分率インピーダンス法への変換
基準容量を\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，基準電圧を\( \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)，基準電流を\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の百分率インピーダンス（パーセントインピーダンス）\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&\frac {ZI_{\mathrm {n}}}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}\times 100 　(定義) \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}ZV_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{\mathrm {n}}Z}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100　　 (∵P_{\mathrm {n}}=\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}} ) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.百分率インピーダンスの容量換算
「1.オーム法から百分率インピーダンス法への変換」の通り，百分率インピーダンスは基準容量に比例します。したがって，基準容量\( \ P_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)の時\( \ ％Z_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[％]} \ \)のインピーダンスを\( \ P_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)へ換算した百分率インピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{\mathrm {B}}&=&\frac {P_{\mathrm {B}}}{P_{\mathrm {A}}}％Z_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.百分率インピーダンスの短絡電流計算
ある地点から電源側を見た百分率インピーダンスを\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)とすると，その点での三相短絡電流\( \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，基準電流\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)を用いて，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}}&=&\frac {I_{\mathrm {n}}}{％Z／100} \\[ 5pt ] &=&\frac {100I_{\mathrm {n}}}{％Z} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

※百分率インピーダンスの定義式等を用いて\( \ \displaystyle I_{\mathrm {s}}=\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \ \)から上式を求めることはできますが，試験時には暗記しておいた方が良いと思います。
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}}&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}{Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}}\times I_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}\times 100}\times 100I_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] &=&\frac {100I_{\mathrm {n}}}{％Z_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

(a)解答：(2)
問題図のおける各インピーダンスを図1のようにおく。

\( \ Z_{2}=15 \ \mathrm {[％]} \ \)，\( \ Z_{3}=10 \ \mathrm {[％]} \ \)，\( \ Z_{4}=28.8 \ \mathrm {[％]} \ \)を基準容量\( \ 50 \ 000 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)に換算した\( \ Z_{2}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)，\( \ Z_{3}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)，\( \ Z_{4}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「2.百分率インピーダンスの容量換算」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{2}^{\prime } &=&\frac {50 \ 000}{25 \ 000}Z_{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {50 \ 000}{25 \ 000}\times 15 \\[ 5pt ] &=&30 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] Z_{3}^{\prime } &=&\frac {50 \ 000}{25 \ 000}Z_{3} \\[ 5pt ] &=&\frac {50 \ 000}{25 \ 000}\times 10 \\[ 5pt ] &=&20 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] Z_{4}^{\prime } &=&\frac {50 \ 000}{60 \ 000}Z_{4} \\[ 5pt ] &=&\frac {50 \ 000}{60 \ 000}\times 28.8 \\[ 5pt ] &=&24 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，図1は図2のように書き換えられる。

図2より，\( \ Z_{1} \ \mathrm {[％]} \ \)，\( \ Z_{2}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)，\( \ Z_{3}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)の合成百分率インピーダンス\( \ Z_{123} \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{123} &=&Z_{1}+\frac {Z_{2}^{\prime }Z_{3}^{\prime }}{Z_{2}^{\prime }+Z_{3}^{\prime }} \\[ 5pt ] &=&12+\frac {30\times 20}{30+ 20} \\[ 5pt ] &=&24 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これと\( \ Z_{4}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)が並列に接続されていると考えれば良いので，遮断器設置場所からみた全体の百分率インピーダンス\( \ Z \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Z &=&\frac {Z_{123}Z_{4}^{\prime }}{Z_{123}+Z_{4}^{\prime }} \\[ 5pt ] &=&\frac {24\times 24}{24+ 24} \\[ 5pt ] &=&12 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(5)
\( \ \mathrm {A} \ \)点における基準電流\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，基準容量\( \ P_{\mathrm {n}}=50 \ 000 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)，基準電圧\( \ V_{\mathrm {n}}=66 \ \mathrm {[kV]} \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {n}} &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {50 \ 000 \times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 66\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &≒&437.4 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，\( \ \mathrm {A} \ \)点における三相短絡電流\( \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，ワンポイント解説「3.百分率インピーダンスの短絡電流計算」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}}&=&\frac {100I_{\mathrm {n}}}{％Z} \\[ 5pt ] &=&\frac {100\times 437.4}{12} \\[ 5pt ] &=&3 \ 645 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。