《電力》〈送電〉[H24:問10]送電線での送電損失に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

こう長\( \ 20 \ \mathrm {[km]} \ \)の三相\( \ 3 \ \)線式\( \ 2 \ \)回線の送電線路がある。受電端で\( \ 33 \ \mathrm {[kV]} \ \),\( \ 6600 \ \mathrm {[kW]} \ \),力率\( \ 0.9 \ \)の三相負荷に供給する場合,受電端電力に対する送電損失を\( \ 5 \ \mathrm {[%]} \ \)以下にするための電線の最小断面積\( \ \mathrm {[{mm}^{2}]} \ \)の値として,計算値が最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

ただし,使用電線は,断面積\( \ 1 \ \mathrm {[{mm}^{2}]} \ \),長さ\( \ 1 \ \mathrm {[m]} \ \)当たりの抵抗を\( \ \displaystyle \frac {1}{35}\mathrm {[\Omega ]} \ \)とし,その他の条件は無視する。

 (1) \(14.3\)  (2) \(23.4\)  (3) \(24.7\)  (4) \(42.8\)  (5) \(171\) 

【ワンポイント解説】

三相\( \ 3 \ \)線式で\( \ 2 \ \)回線であること,抵抗率の公式を使用すること等かなりの計算力を要する問題で\( \ 2 \ \)種の二次試験に出題されても良いようなレベルの問題と言えます。一つ一つの計算は非常に重要なものばかりなので,確実に理解するようにしましょう。

1.三相\( \ 3 \ \)線式の有効電力\( \ P \ \)
三相\( \ 3 \ \)線式の送電線の線間電圧が\( \ V \ \),線電流が\( \ I \ \),電圧と電流の力率が\( \ \cos \theta \ \)であるとき,送電電力\( \ P \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\sqrt {3}VI\cos \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.抵抗率\( \ \rho \ \)
送電線の断面積\( \ 1 \ \mathrm {[{m}^{2}]} \ \)及び長さ\( \ 1 \ \mathrm {[m]} \ \)当たりの抵抗値\( \ \rho \ \mathrm {[\Omega \cdot m]} \)が与えられている時,断面積\( \ S \ \mathrm {[{m}^{2}]} \ \),長さ\( \ l \ \mathrm {[m]} \ \)の送電線の抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega]} \)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
R &=&\frac {\rho l}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答:(4)
題意より,受電端での電圧\( \ V_{\mathrm {r}}=33 \ \mathrm {[kV]} \ \),電力\( \ P_{\mathrm {r}}=6600 \ \mathrm {[kW]} \ \),力率\( \ \cos \theta =0.9 \ \)であるから,三相負荷を流れる電流\( \ I_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[A]} \ \)は,ワンポイント解説「1.三相\( \ 3 \ \)線式の有効電力\( \ P \ \)」より,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {r}} &=&\sqrt {3}V_{\mathrm {r}}I_{\mathrm {L}}\cos \theta \\[ 5pt ] I_{\mathrm {L}} &=&\frac {P_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}V_{\mathrm {r}}\cos \theta } \\[ 5pt ] &=&\frac {6600\times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 33\times 10^{3}\times 0.9 } \\[ 5pt ] &≒&128.3 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,送電線\( \ 1 \ \)回線当たりの電流の大きさ\( \ I_{\mathrm {l}} \ \mathrm {[A]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {l}} &=&\frac {I_{\mathrm {L}}}{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {128.3}{2} \\[ 5pt ] &≒&64.15 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また,送電線\( \ 1 \ \)線当たりの抵抗値\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は,断面積を\( \ S \ \mathrm {[{mm}^{2}]} \ \)とすると,ワンポイント解説「2.抵抗率\( \ \rho \ \)」より,
\[
\begin{eqnarray}
R &=&\frac {\rho l}{S} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {1}{35} \times 20\times 10^{3}}{S} \\[ 5pt ] &≒&\frac {571.4}{S} \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,送電線の損失\( \ P_{\mathrm {l}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は,三相\( \ 3 \ \)線式\( \ 2 \ \)回線であることに注意すると,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {l}} &=&2\times 3RI_{\mathrm {l}}^{2} \\[ 5pt ] &=&6\times \frac {571.4}{S} \times 64.15^{2} \\[ 5pt ] &≒&\frac {14110000}{S} \ \mathrm {[W]} → \frac {14110}{S} \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。題意より,この値が受電電力の\( \ 5 \ \mathrm {[%]} \ \)以下にならなければならないので,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {l}} &=&0.05 P_{\mathrm {r}} \\[ 5pt ] \frac {14110}{S}&=&0.05 \times 6600 \\[ 5pt ] \frac {14110}{S}&=&330 \\[ 5pt ] S&≒&42.8 \ \mathrm {[{mm}^{2}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。