《電力》〈送電〉[H29:問11]送電線の損失に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

回路図のような単相\( \ 2 \ \)線式及び三相\( \ 4 \ \)線式のそれぞれの低圧配電方式で,抵抗負荷に送電したところ送電電力が等しかった。
このときの三相\( \ 4 \ \)線式の線路損失は単相\( \ 2 \ \)線式の何\( \ [%] \ \)となるか。最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし,三相\( \ 4 \ \)線式の結線は\( \ \mathrm {Y} \ \)結線で,電源は三相対称,負荷は三相平衡であり,それぞれの低圧配電方式の1線当たりの線路抵抗\( \ r \ \),回路図に示す電圧\( \ V \ \)は等しいものとする。また,線路インダクタンスは無視できるものとする。

(1) \(16.7\)  (2) \(33.3\)  (3) \(50.0\)  (4) \(57.8\)  (5) \(66.7\)

【ワンポイント解説】

この問題は単相\( \ 2 \ \)線式と三相\( \ 4 \ \)線式の各基本式に沿って,それぞれの電流値を出してから損失を計算する過程を省略せずに,丁寧に解くことが重要になります。

1.単相交流電力と三相交流電力
相電圧\( \ V \ \),電流を\( \ I \ \)とする時,単相\( \ 2 \ \)線式での電力\( \ P_{1} \ \),三相4線式での電力\( \ P_{3} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{1}&=&VI \\[ 5pt ] P_{3}&=&3VI \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.単相\( \ 2 \ \)線式及び三相\( \ 4 \ \)線式の線路損失
問題図のにおいて,電流を\( \ I \ \)とする時,単相\( \ 2 \ \)線式での線路損失\( \ p_{1} \ \),三相\( \ 4 \ \)線式での線路損失\( \ p_{3} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
p_{1}&=&2\times rI^{2} \\[ 5pt ] p_{3}&=&3rI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答:(1)
単相\( \ 2 \ \)線式と三相\( \ 4 \ \)線式の送電電力は等しいので,その大きさを\( \ P \ \),それぞれの電流を\( \ I_{1} \ \),\( \ I_{3} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {P}{V} \\[ 5pt ] I_{3}&=&\frac {P}{3V} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから,それぞれの単相2線式での線路損失\( \ p_{1} \ \),三相4線式での線路損失\( \ p_{3} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
p_{1}&=&2rI_{1}^{2} \\[ 5pt ] &=&2r\left( \frac {P}{V}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {2rP^{2}}{V^{2}} \\[ 5pt ] p_{3}&=&3rI_{3}^{2} \\[ 5pt ] &=&3r\left( \frac {P}{3V}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {rP^{2}}{3V^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,\( \ p_{1} \ \)と\( \ p_{3} \ \)の比は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {p_{3}}{p_{1}}&=&\frac {\displaystyle \frac {rP^{2}}{3V^{2}}}{\displaystyle \frac {2rP^{2}}{V^{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{6} \\[ 5pt ] &≒&0.167 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。よって,\( \ 16.7 \ % \ \)となる。