《電力》〈送電〉[H29:問11]送電線の損失に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

回路図のような単相2線式及び三相4線式のそれぞれの低圧配電方式で,抵抗負荷に送電したところ送電電力が等しかった。
このときの三相4線式の線路損失は単相2線式の何\([%]\)となるか。最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし,三相4線式の結線はY結線で,電源は三相対称,負荷は三相平衡であり,それぞれの低圧配電方式の1線当たりの線路抵抗\(r\),回路図に示す電圧\(V\)は等しいものとする。また,線路インダクタンスは無視できるものとする。

(1) 16.7  (2) 33.3  (3) 50.0  (4) 57.8  (5) 66.7

【ワンポイント解説】

この問題は単相2線式と三相4線式の各基本式に沿って,それぞれの電流値を出してから損失を計算する過程を省略せずに,丁寧に解くことが重要になります。

1.単相交流電力と三相交流電力
相電圧\(V\),電流を\(I\)とする時,単相2線式での電力\(P_{1}\),三相4線式での電力\(P_{3}\)は,
\[
P_{1}=VI
\] \[
P_{3}=3VI
\] となる。

2.単相2線式及び三相4線式の線路損失
問題図のにおいて,電流を\(I\)とする時,単相2線式での線路損失\(p_{1}\),三相4線式での線路損失\(p_{3}\)は,
\[
p_{1}=2\times rI^{2}
\] \[
p_{3}=3rI^{2}
\] となる。

【解答】

解答:(1)
単相2線式と三相4線式の送電電力は等しいので,その大きさを\(P\),それぞれの電流を\(I_{1}\),\(I_{3}\)とすると,
\[
I_{1}=\frac {P}{V}
\] \[
I_{3}=\frac {P}{3V}
\] となるから,それぞれの単相2線式での線路損失\(p_{1}\),三相4線式での線路損失\(p_{3}\)は,
\[
p_{1}=2rI_{1}^{2}=2r\left( \frac {P}{V}\right) ^{2}=\frac {2rP^{2}}{V^{2}}
\] \[
p_{3}=3rI_{3}^{2}=3r\left( \frac {P}{3V}\right) ^{2}=\frac {rP^{2}}{3V^{2}}
\] となる。よって,\(p_{1}\)と\(p_{3}\)の比は,
\[
\frac {p_{3}}{p_{1}}=\frac {\frac {rP^{2}}{3V^{2}}}{\frac {2rP^{2}}{V^{2}}}=\frac {1}{6}≒0.167
\] と求められる。よって,\(16.7%\)となる。