《電力》〈原子力〉[R05上:問4]ウランの発生エネルギーと同じ熱量を得るための重油の量に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

\( \ 1 \ \mathrm {kg} \ \)のウラン燃料に\( \ 3.5 \ \mathrm {％} \ \)含まれるウラン\( \ 235 \ \)が核分裂し，\( \ 0.09 \ \mathrm {％} \ \)の質量欠損が生じたときに発生するエネルギーと同量のエネルギーを，重油の燃焼で得る場合に必要な重油の量\( \ \mathrm {[kL]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，計算上の熱効率を\( \ 100 \ \mathrm {％} \ \)，使用する重油の発熱量は\( \ 40 \ 000 \ \mathrm {kJ / L} \ \)とする。

(1)　\( \ 13 \ \)　　(2)　\( \ 17 \ \)　　(3)　\( \ 70 \ \)　　(4)　\( \ 1.3\times 10^{3} \ \)　　(5)　\( \ 7.8\times 10^{4} \ \)

【ワンポイント解説】

原子力発電で使用するウランで発生するエネルギーと同じ熱量を得るために必要な重油の量の導出に関する問題です。
ウラン\( \ 1 \ \mathrm {kg} \ \)に対し重油の単位が\( \ \mathrm {[kL]} \ \)であることに着目し，どれくらいの量の違いがあるのか理解するようにして下さい。
平成24年問4に類題が出題されていますので，過去問勉強をしっかりとされた方が有利な問題であったかと思います。

1.エネルギーと質量の関係式
アインシュタインの特殊相対性理論の中でも最もポピュラーな公式の一つで，ある物質に\( \ \Delta m \ \mathrm {[kg]} \ \)の質量欠損があった場合，その物質から発生するエネルギーを\( \ E \ \mathrm {[J]} \ \)，光の速度を\( \ c=3.0\times 10^{8} \ \mathrm {[m／s]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\Delta m c^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

解答：(3)
ウラン\( \ 235 \ \)の質量欠損\( \ \Delta m \ \mathrm {[kg]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\Delta m &=&1\times 0.035\times \frac {0.09}{100} \\[ 5pt ] &=&3.15\times 10^{-5} \ \mathrm {[kg]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，ワンポイント解説「1.エネルギーと質量の関係式」より，ウラン\( \ 235 \ \)が発生するエネルギー\( \ E \ \mathrm {[kJ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\Delta m c^{2} \\[ 5pt ] &=&3.15\times 10^{-5}\times \left( 3.0\times 10^{8}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&2.835\times 10^{12} \ \mathrm {[J]} →　2.835\times 10^{9} \ \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。
一方，重油火力で発生するエネルギー\( \ E \ \mathrm {[kJ]} \ \)は，使用する重油の使用量を\( \ V_{\mathrm {h}} \ \mathrm {[kL]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&40 \ 000 \cdot \left( V_{\mathrm {h}}\times 10^{3}\right) \\[ 5pt ] &=&4.0\times 10^{7} V_{\mathrm {h}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるため，ウラン\( \ 235 \ \)が質量欠損し発生するエネルギーと同じだけの熱量を得るのに必要な重油の量は，
\[
\begin{eqnarray}
2.835\times 10^{9} &=&4.0\times 10^{7} V_{\mathrm {h}} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {h}} &=&\frac {2.835\times 10^{9} }{4.0\times 10^{7}} \\[ 5pt ] &≒&70.9 \ \mathrm {[kL]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。