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【問題】
【難易度】★★★☆☆(普通)
図に示すように,電動機が減速機と組み合わされて負荷を駆動している。このときの電動機の回転速度\( \ n_{m} \ \)が\( \ 1 \ 150 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \),トルク\( \ T_{m} \ \)が \( \ 100 \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)であった。減速機の減速比が\( \ 8 \ \),効率が\( \ 0.95 \ \)のとき,負荷の回転速度\( \ n_{L} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \),軸トルク\( \ T_{L} \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)及び軸入力\( \ P_{L} \ \mathrm {[kW]} \ \)の値として,最も近いものを組み合わせたのは次のうちどれか。
![](https://denken-ou.com/wp-content/uploads/2023/09/16834a1c3981047b999a34550682decf.jpg)
\[
\begin{array}{cccc}
& n_{L} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} & T_{L} \ \mathrm {[N\cdot m]} & P_{L} \ \mathrm {[kW]} \\
\hline
(1) & 136.6 & 11.9 & 11.4 \\
\hline
(2) & 143.8 & 760 & 11.4 \\
\hline
(3) & 9 \ 200 & 760 & 6 \ 992 \\
\hline
(4) & 143.8 & 11.9 & 11.4 \\
\hline
(5) & 9 \ 200 & 11.9 & 6 \ 992 \\
\hline
\end{array}
\]
【ワンポイント解説】
電動機と減速機を組み合わせた負荷の駆動に関する問題です。
以下に公式を紹介しますが,公式を覚えるというよりも,図を見ながらメカニズムを理解し解けるようになるのが理想です。
1.減速機での回転速度,トルク
図1のように歯数\( \ t_{1} \ \)及び\( \ t_{2} \ \)の減速機があり,それぞれ電動機と負荷に繋いだときの電動機の回転速度\( \ n_{1} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \),負荷の回転速度\( \ n_{2} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)とすると,歯車の嚙み合う歯数は等しいことから,
\[
\begin{eqnarray}
n_{1}t_{1} &=&n_{2}t_{2} \\[ 5pt ]
\frac {t_{2}}{t_{1}} &=& \frac {n_{1}}{n_{2}}=a \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり,これを減速比といいます。減速機の効率を\( \ \eta \ \),電動機の軸出力を\( \ P_{1} \ \mathrm {[W]} \ \),負荷への軸入力を\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
P_{2} &=&\eta P_{1} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があるため,電動機の軸トルク\( \ T_{1} \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)と負荷の軸トルク\( \ T_{2} \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)の関係は,それぞれの角速度を\( \ \omega _{1} \ \mathrm {[rad / s]} \ \),\( \ \omega _{2} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{2}T_{2} &=&\eta \omega _{1}T_{1} \\[ 5pt ]
\frac {2\pi n_{2}}{60}\cdot T_{2} &=&\eta \cdot \frac {2\pi n_{1}}{60}\cdot T_{1} \\[ 5pt ]
n_{2} T_{2} &=&\eta n_{1}T_{1} \\[ 5pt ]
T_{2} &=&\eta \cdot \frac {n_{1}}{n_{2}}\cdot T_{1} \\[ 5pt ]
&=&\eta a T_{1} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
![](https://denken-ou.com/wp-content/uploads/2023/09/6f4a7c84ecb6e453b3d40c15b9838dee.jpg)
【解答】
解答:(2)
減速比\( \ a=8 \ \)であるから,負荷の回転速度\( \ n_{L} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は,ワンポイント解説「1.減速機での回転速度,トルク」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
n_{L} &=&\frac {n_{m}}{a} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1 \ 150}{8} \\[ 5pt ]
&=&143.75 → 143.8 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
電動機の軸出力\( \ P_{m} \ \mathrm {[kW]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{m} &=&\omega _{m}T_{m} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\pi n_{m}}{60}\cdot T_{m} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\pi \times 1 \ 150}{60}\times 100 \\[ 5pt ]
&≒&12 \ 040 \ \mathrm {[W]} → 12.04 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり,減速機の効率が\( \ \eta =0.95 \ \)であるから,負荷の軸入力\( \ P_{L} \ \mathrm {[kW]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{L} &=&\eta P_{m} \\[ 5pt ]
&=&0.95\times 12.04 \\[ 5pt ]
&≒&11.44 → 11.4 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
また,負荷の軸トルク\( \ T_{L} \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
T_{L} &=&\frac {P_{m}}{\omega _{m}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{m}}{\displaystyle \frac {2\pi n_{m}}{60}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {60P_{m}}{2\pi n_{m}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {60\times 11.44\times 10^{3}}{2\pi \times 143.75} \\[ 5pt ]
&≒&760 \ \mathrm {[N\cdot m]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。