《機械》〈情報伝送及び処理〉[R2:問14]真理値表からのブール代数の論理式の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

入力信号\( \ A \ \),\( \ B \ \)及び\( \ C \ \),出力信号\( \ X \ \)の論理回路の真理値表が次のように示されたとき,\( \ X \ \)の論理式として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
  A   &   B   &   C   &   X   \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 \\
\hdashline
0 & 0 & 1 & 1 \\
\hdashline
0 & 1 & 0 & 0 \\
\hdashline
0 & 1 & 1 & 1 \\
\hdashline
1 & 0 & 0 & 0 \\
\hdashline
1 & 0 & 1 & 1 \\
\hdashline
1 & 1 & 0 & 1 \\
\hdashline
1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

ブール代数を利用した式の導出です。カルノー図等を利用しても解けるので,好きな方で解けば良いと思います。
慣れると点取り問題になる問題です。

1.カルノー図
図1のように,真理値表を整理して,ブール代数を簡略化して解く方法です。カルノー図を使用する際,以下のルールがあります。
・\( \ 00 \ \),\( \ 01 \ \),\( \ 11 \ \)\( \ 10 \ \)の順に描く。
・\( \ 0 \ \)を書かず,\( \ 1 \ \)のみを記載する。
・なるべく大きな長方形で囲い,式を整理する。
・一番上と一番下及び一番左と一番右は繋がっていると考える。

2.ブール代数の法則
以下の法則は覚えるのではなく,高校生の数学で習った集合の内容を思い出し,頭でイメージするようにして下さい。
私も公式として覚えているのはド・モルガンの定理ぐらいかと思います。
①恒等則
 \(1+A=1\),\(0\cdot A=0\),\(0+A=A\),\(1\cdot A =A\)

②べき等則
 \(A+A=A\),\(A\cdot A=A\)

③補元則
 \(A\cdot \overline A=0\),\(A +\overline A=1\)

④二重否定
 \(\overline {\overline A}=A\)

⑤交換則
 \(A+B=B+A\),\(A\cdot B =B\cdot A\)

⑥結合則
 \(A+(B+C)=(A+B)+C\),\(A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C\)

⑦分配則
 \(A\cdot (B+C)=A\cdot B +A\cdot C\),\(A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)\)

⑧吸収則
 \(A\cdot (A+B)=A\),\(A+A\cdot B=A\)

⑨ド・モルガンの定理
 \(\overline {A+B}=\overline A \cdot \overline B\),\(\overline {A\cdot B}=\overline A +\overline B\)

【解答】

解答:(5)
真理値表に沿ってカルノー図を描くとワンポイント解説「1.カルノー図」の図1のようになるから,カルノー図のルールに沿って長方形で囲うと図2のようになる。

図2より,\( \ X \ \)の論理式は,
\[
\begin{eqnarray}
X&=& A \cdot B +C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

【別解】
真理値表より,\( \ X \ \)の論理式は,
\[
\begin{eqnarray}
X&=& \overline A \cdot \overline B \cdot C+\overline A \cdot B \cdot C+A \cdot \overline B \cdot C+A \cdot B \cdot \overline C+A \cdot B \cdot C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,これをワンポイント解説「2.ブール代数の法則」に沿って整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
X&=& \overline A \cdot \overline B \cdot C+\overline A \cdot B \cdot C+A \cdot \overline B \cdot C+A \cdot B \cdot \overline C+A \cdot B \cdot C \\[ 5pt ] &=& \overline A \cdot \overline B \cdot C+\overline A \cdot B \cdot C+A \cdot \overline B \cdot C+A \cdot B \cdot C+A \cdot B \cdot \overline C \left( 交換則\right) \\[ 5pt ] &=& \overline A \cdot \overline B \cdot C+\overline A \cdot B \cdot C+A \cdot \overline B \cdot C+A \cdot B \cdot C+A \cdot B \cdot C+A \cdot B \cdot \overline C \left( べき等則\right) \\[ 5pt ] &=& \left( \overline A \cdot \overline B +\overline A \cdot B +A \cdot \overline B+A \cdot B \right) \cdot C+A \cdot B \cdot \left( C+ \overline C\right) \left( 分配則\right) \\[ 5pt ] &=& \left\{ \overline A \cdot \left( \overline B + B\right) +A \left( \overline B + B\right) \right\} \cdot C+A \cdot B \cdot \left( C+ \overline C\right) \left( 分配則\right) \\[ 5pt ] &=& \left( \overline A \cdot 1 +A \cdot 1 \right) \cdot C+A \cdot B \cdot 1 \left( 補元則\right) \\[ 5pt ] &=& \left( \overline A +A \right) \cdot C+A \cdot B  \left( 恒等則\right) \\[ 5pt ] &=& 1 \cdot C+A \cdot B  \left( 補元則\right) \\[ 5pt ] &=&C+A \cdot B  \left( 恒等則\right) \\[ 5pt ] &=&A \cdot B+C  \left( 交換則\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。