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【問題】
【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)
定格容量\( \ 50 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)の単相変圧器がある。この変圧器を定格電圧,力率\( \ 100 \ \mathrm {[%]} \ \),全負荷の\( \ \displaystyle \frac {3}{4} \ \)の負荷で運転したとき,鉄損と銅損が等しくなり,そのときの効率は\( \ 98.2 \ \mathrm {[%]} \ \)であった。この変圧器について,次の(a)及び(b)に答えよ。
ただし,鉄損と銅損以外の損失は無視できるものとする。
(a) この変圧器の鉄損\( \ \mathrm {[W]} \ \)の値として,最も近いのは次のうちどれか。
(1) \( \ 344 \ \) (2) \( \ 382 \ \) (3) \( \ 425 \ \) (4) \( \ 472 \ \) (5) \( \ 536 \ \)
(b) この変圧器を全負荷,力率\( \ 100 \ \mathrm {[%]} \ \)で運転したときの銅損\( \ \mathrm {[W]} \ \)の値として,最も近いのは次のうちどれか。
(1) \( \ 325 \ \) (2) \( \ 453 \ \) (3) \( \ 579 \ \) (4) \( \ 611 \ \) (5) \( \ 712 \ \)
【ワンポイント解説】
単相変圧器の最大効率から鉄損及び銅損を求める問題です。
類題が何度も出題されている,計算もそれほど難解ではない,という理由から多くの受験生が正答する問題となります。
試験本番までには,必ずマスターしておくようにして下さい。
1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)があり,\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷によらず一定であり,\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って,定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[W]} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ]
&=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
次に,最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めます。上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり,効率が最大となるためには,上式の分母が最小となれば良いです。よって,\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき,\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり,鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。
※ 本問題を解く上では,鉄損と銅損が等しい時,効率が最大となることを覚えていれば問題ありません。
【解答】
(a)解答:(1)
鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)及び全負荷時の銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)とすると,負荷率\( \ \alpha =\displaystyle \frac {3}{4} \ \)の負荷で運転したとき,鉄損と銅損が等しくなり,最大効率が\( \ \eta _{\mathrm {m}}=98.2 \ \mathrm {[%]} \ \)となったとなっているので,ワンポイント解説「1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {m}}&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+p_{\mathrm {i}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+2p_{\mathrm {i}}} \\[ 5pt ]
\alpha P_{\mathrm {n}}+2p_{\mathrm {i}}&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\eta _{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ]
2p_{\mathrm {i}}&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\eta _{\mathrm {m}}}-\alpha P_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ]
p_{\mathrm {i}}&=&\frac {1}{2}\left( \frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\eta _{\mathrm {m}}}-\alpha P_{\mathrm {n}}\right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\alpha P_{\mathrm {n}}\left( \frac {1}{\eta _{\mathrm {m}}}-1\right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\times \frac {3}{4} \times 50\times 10^{3}\times \left( \frac {1}{0.982}-1\right) \\[ 5pt ]
&≒&343.7 → 344 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答:(4)
負荷率\( \ \alpha =\displaystyle \frac {3}{4} \ \)のときの銅損が(a)で求めた鉄損と等しいことから,ワンポイント解説「1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}&=&p_{\mathrm {i}} \\[ 5pt ]
p_{\mathrm {c}}&=&\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2}} \\[ 5pt ]
&≒&611 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。