《機械》〈変圧器〉[H20:問16]単相変圧器の鉄損及び銅損に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

定格容量\( \ 50 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)の単相変圧器がある。この変圧器を定格電圧，力率\( \ 100 \ \mathrm {[％]} \ \)，全負荷の\( \ \displaystyle \frac {3}{4} \ \)の負荷で運転したとき，鉄損と銅損が等しくなり，そのときの効率は\( \ 98.2 \ \mathrm {[％]} \ \)であった。この変圧器について，次の(a)及び(b)に答えよ。

ただし，鉄損と銅損以外の損失は無視できるものとする。

(a)　この変圧器の鉄損\( \ \mathrm {[W]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 344 \ \)　　(2)　\( \ 382 \ \)　　(3)　\( \ 425 \ \)　　(4)　\( \ 472 \ \)　　(5)　\( \ 536 \ \)

(b)　この変圧器を全負荷，力率\( \ 100 \ \mathrm {[％]} \ \)で運転したときの銅損\( \ \mathrm {[W]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 325 \ \)　　(2)　\( \ 453 \ \)　　(3)　\( \ 579 \ \)　　(4)　\( \ 611 \ \)　　(5)　\( \ 712 \ \)

【ワンポイント解説】

単相変圧器の最大効率から鉄損及び銅損を求める問題です。
類題が何度も出題されている，計算もそれほど難解ではない，という理由から多くの受験生が正答する問題となります。
試験本番まではに，必ずマスターしておくようにして下さい。

1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)があり，\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷によらず一定であり，\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って，定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[W]} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ] &=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
次に，最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めます。上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，効率が最大となるためには，上式の分母が最小となれば良いです。よって，\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき，\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり，鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。

　※　本問題を解く上では，鉄損と銅損が等しい時，効率が最大となることを覚えていれば問題ありません。

【解答】

(a)解答：(1)
鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)及び全負荷時の銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)とすると，負荷率\( \ \alpha =\displaystyle \frac {3}{4} \ \)の負荷で運転したとき，鉄損と銅損が等しくなり，最大効率が\( \ \eta _{\mathrm {m}}=98.2 \ \mathrm {[％]} \ \)となったとなっているので，ワンポイント解説「1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {m}}&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+p_{\mathrm {i}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+2p_{\mathrm {i}}} \\[ 5pt ] \alpha P_{\mathrm {n}}+2p_{\mathrm {i}}&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\eta _{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ] 2p_{\mathrm {i}}&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\eta _{\mathrm {m}}}-\alpha P_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] p_{\mathrm {i}}&=&\frac {1}{2}\left( \frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\eta _{\mathrm {m}}}-\alpha P_{\mathrm {n}}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\alpha P_{\mathrm {n}}\left( \frac {1}{\eta _{\mathrm {m}}}-1\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\times \frac {3}{4} \times 50\times 10^{3}\times \left( \frac {1}{0.982}-1\right) \\[ 5pt ] &≒&343.7　→　344 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(4)
負荷率\( \ \alpha =\displaystyle \frac {3}{4} \ \)のときの銅損が(a)で求めた鉄損と等しいことから，ワンポイント解説「1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}&=&p_{\mathrm {i}} \\[ 5pt ] p_{\mathrm {c}}&=&\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2}} \\[ 5pt ] &≒&611 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。