《機械》〈情報伝送及び処理〉[H23:問18]カルノー図及び論理式の変換に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次のカルノー図から得られた結果\( \ X \ \)は次式の論理式で示される。
\[
\begin{eqnarray}
X &=& \overline A \cdot \overline B+\overline B \cdot D +\overline A \cdot C \cdot D+ A \cdot B \cdot \overline C \cdot \overline D \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　\( \ X \ \)の式を\( \ \mathrm {NAND} \ \)回路及び\( \ \mathrm {NOT} \ \)回路で実現する論理式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ X=\overline {\overline {( A\cdot B) }\cdot \overline {( \overline B\cdot D) }\cdot \overline {( \overline A\cdot C\cdot D) }\cdot \overline {( A\cdot B\cdot \overline C\cdot \overline D) }} \ \)

　(2)　\( \ X=\overline {\overline {( \overline A\cdot \overline B) }\cdot \overline { ( B\cdot D) } \cdot \overline {( \overline A\cdot C\cdot D) }\cdot \overline {( A\cdot B\cdot \overline C\cdot \overline D) }} \ \)

　(3)　\( \ X=\overline {\overline {( \overline A\cdot \overline B) }\cdot \overline { ( \overline B\cdot D) } \cdot \overline {( A\cdot C\cdot D) }\cdot \overline {( A\cdot B\cdot \overline C\cdot \overline D) }} \ \)

　(4)　\( \ X=\overline {\overline {( \overline A\cdot \overline B) }\cdot \overline { ( \overline B\cdot D) } \cdot \overline {( \overline A\cdot C\cdot D) }\cdot \overline {( A\cdot B\cdot \overline C\cdot D) }} \ \)

　(5)　\( \ X=\overline {\overline {( \overline A\cdot \overline B) }\cdot \overline { ( \overline B\cdot D) } \cdot \overline {( \overline A\cdot C\cdot D) }\cdot \overline {( A\cdot B\cdot \overline C\cdot \overline D) }} \ \)

(b)　\( \ X \ \)の式を\( \ \mathrm {NOR} \ \)回路及び\( \ \mathrm {NOT} \ \)回路で実現する論理式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ X=\overline {\overline {\overline { A+ B }+\overline { B+ \overline D }+\overline { A+ \overline C+ \overline D }+\overline { \overline A+ B+ C+ D }}} \ \)

　(2)　\( \ X=\overline {\overline {\overline { A+ B }+\overline { B+ \overline D }+\overline { A+ \overline C+ D }+\overline { \overline A+ \overline B+ C+ D }}} \ \)

　(3)　\( \ X=\overline {\overline {\overline { A+ B }+\overline { B+ \overline D }+\overline { A+ \overline C+\overline D }+\overline { \overline A+ \overline B+ C+ D }}} \ \)

　(4)　\( \ X=\overline {\overline {\overline { A+ B }+\overline { B+ \overline D }+\overline {\overline A+ \overline C+\overline D }+\overline { \overline A+ \overline B+ C+ D }}} \ \)

　(5)　\( \ X=\overline {\overline {\overline { A+ B }+\overline { \overline B+ \overline D }+\overline { A+ \overline C+\overline D }+\overline { \overline A+ \overline B+ C+ D }}} \ \)

【ワンポイント解説】

カルノー図と論理式に関する問題ですが，問題に論理式が与えられているので，実質論理式の式変形の問題となっています。
やや思いつきが必要な問題であり，変形方法に気付かないと苦戦するかもしれません。

1.ブール代数の法則
ブール代数の法則は以下の表に示すように，様々なものがあります。一般的な数式と似ているものが多いので，私もしっかりと覚えているのはド・モルガンの定理ぐらいです。基本的には覚えるよりも理解する方が大事であると思います。
\[
\begin{array}{|c|l|}
\hline
同一則 & A\cdot A=A　A+A=A　\\
\hline
補元則 & A\cdot \overline A=0　A+\overline A=1　\\
\hline
復元則 & \overline {\overline A}=A　\\
\hline
交換則 & A\cdot B=B\cdot A　A+B=B+A \\
\hline
結合則 & A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C　A+(B+C)=(A+B)+C \\
\hline
分配則 & A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C　(A+B)\cdot (A+C)=A+B\cdot C　 \\
\hline
吸収則 & {\displaystyle A\cdot (A+B)=A　A+A\cdot B=A} \atop {\displaystyle A+\overline A \cdot B=A+B　\overline A+ A \cdot B=\overline A+B} \\
\hline
ド・モルガンの定理 & \overline {A+B}=\overline A \cdot \overline B　\overline {A\cdot B}=\overline A + \overline B \\
\hline
\end{array}
\]

【解答】

(a)解答：(5)
与えられている式をワンポイント解説「1.ブール代数の法則」に沿って変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
X &=& \overline A \cdot \overline B+\overline B \cdot D +\overline A \cdot C \cdot D+ A \cdot B \cdot \overline C \cdot \overline D && \\[ 5pt ] &=& \overline {\overline {\overline A \cdot \overline B+\overline B \cdot D +\overline A \cdot C \cdot D+ A \cdot B \cdot \overline C \cdot \overline D}}　&(復元則)& \\[ 5pt ] &=& \overline {\overline {( \overline A\cdot \overline B) }\cdot \overline { ( \overline B\cdot D) } \cdot \overline {( \overline A\cdot C\cdot D) }\cdot \overline {( A\cdot B\cdot \overline C\cdot \overline D) }}　&(ド・モルガンの定理)& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(3)
(a)と同様，与えられている式をワンポイント解説「1.ブール代数の法則」に沿って変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
X &=& \overline A \cdot \overline B+\overline B \cdot D +\overline A \cdot C \cdot D+ A \cdot B \cdot \overline C \cdot \overline D && \\[ 5pt ] &=& \overline { A+ B }+\overline { B+ \overline D }+\overline { A+ \overline C+\overline D }+\overline { \overline A+ \overline B+ C+ D }　&(ド・モルガンの定理)& \\[ 5pt ] &=& \overline {\overline {\overline { A+ B }+\overline { B+ \overline D }+\overline { A+ \overline C+\overline D }+\overline { \overline A+ \overline B+ C+ D }}}　&(復元則)& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。