【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，変圧器の損失と効率に関する記述である。
電圧一定で出力を変化させても，出力一定で電圧を変化させても，変圧器の効率の最大は鉄損と銅損とが等しいときに生じる。ただし，変圧器の損失は鉄損と銅損だけとし，負荷の力率は一定とする。
a.出力\( \ 1 \ 000 \ \mathrm {[W]} \ \)で運転している単相変圧器において鉄損が\( \ 40.0 \ \mathrm {[W]} \ \)，銅損が\( \ 40.0 \ \mathrm {[W]} \ \)発生している場合，変圧器の効率は\( \ \fbox { （ア） } \ \mathrm {[％]} \ \)である。
b.出力電圧一定で出力を\( \ 500 \ \mathrm {[W]} \ \)に下げた場合の鉄損は\( \ 40.0 \ \mathrm {[W]} \ \)，銅損は\( \ \fbox { （イ） } \ \mathrm {[W]} \ \)，効率は\( \ \fbox { （ウ） } \ \mathrm {[％]} \ \)となる。
c.出力電圧が\( \ 20 \ \mathrm {[％]} \ \)低下した状態で，出力\( \ 1 \ 000 \ \mathrm {[W]} \ \)の運転をしたとすると鉄損は\( \ 25.6 \ \mathrm {[W]} \ \)，銅損は\( \ \fbox { （エ） } \ \mathrm {[W]} \ \)，効率は\( \ \fbox { （オ） } \ \mathrm {[％]} \ \)となる。ただし，鉄損は電圧の\( \ 2 \ \)乗に比例するものとする。
上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)及び(オ)に当てはまる最も近い数値の組合せを，次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{cccccc}
& （ア） & （イ） & （ウ） & （エ） & （オ） \\
\hline
(1) & 94 & 20.0 & 89 & 61.5 & 91 \\
\hline
(2) & 93 & 10.0 & 91 & 62.5 & 92 \\
\hline
(3) & 94 & 20.0 & 89 & 63.5 & 91 \\
\hline
(4) & 93 & 10.0 & 91 & 50.0 & 93 \\
\hline
(5) & 92 & 20.0 & 89 & 61.5 & 91 \\
\hline
\end{array}
\]
【ワンポイント解説】
変圧器の損失に関する問題です。
a.およびb.の内容は標準的かやや易しいレベルの内容ですが，c.の文章が加わることでぐんと難易度が上がっている問題です。
メカニズムを一度理解すれば忘れにくい内容なので，確実に理解するようにしましょう。
1.変圧器の等価回路（一次換算）と鉄損及び銅損
変圧器の一次側換算等価回路を図1に示します。ただし，\( \ {\dot V}_{1} \ \)は一次側端子電圧，\( \ {\dot I}_{1} \ \)は一次電流，\( \ {\dot I}_{2} \ \)は二次電流，\( \ {\dot I}_{0} \ \)は励磁電流，\( \ r_{1} \ \)は一次巻線抵抗，\( \ r_{2} \ \)は二次巻線抵抗，\( \ x_{1} \ \)は一次漏れリアクタンス，\( \ x_{2} \ \)は二次漏れリアクタンス，\( \ a \ \)は変圧比（巻数比）となります。
等価回路より，鉄損は電圧\( \ {\dot V}_{1} \ \)の\( \ 2 \ \)乗に比例し，銅損は電流\( \ {\dot I}_{2} \ \)の\( \ 2 \ \)乗に比例することがわかります。
2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \)があり，\( \ p_{\mathrm {i}} \ \)は負荷によらず一定であり，\( \ p_{\mathrm {c}} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って，定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ]
&=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
次に，最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めます。上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，効率が最大となるためには，上式の分母が最小となれば良いです。よって，\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき，\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり，鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。
※ 電験\( \ 3 \ \)種においては，鉄損と銅損が等しい時，効率が最大となることを覚えていれば問題ありません。
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【解答】
解答：(2)
(ア)
ワンポイント解説「2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，出力\( \ P_{\mathrm {o}}=1 \ 000 \ \mathrm {[W]} \ \)，鉄損\( \ p_{\mathrm {i}}=40.0 \ \mathrm {[W]} \ \)，銅損\( \ p_{\mathrm {c}}=40.0 \ \mathrm {[W]} \ \)の時の効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\displaystyle P_{\mathrm {o}}+p_{\mathrm {i}}+p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1000}{\displaystyle 1000+40+40} \\[ 5pt ]
&≒&0.9259 → 93 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(イ)
銅損は出力の\( \ 2 \ \)乗に比例に比例するので，出力\( \ P_{\mathrm {o}}^{\prime }=500 \ \mathrm {[W]} \ \)の時の銅損\( \ p_{\mathrm {c}}^{\prime } \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
p_{\mathrm {c}}^{\prime } &=&\left( \frac {500}{1000}\right) ^{2}\times p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{4}\times 40 \\[ 5pt ]
&=&10 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(ウ)
（イ）より，出力\( \ P_{\mathrm {o}}^{\prime }=500 \ \mathrm {[W]} \ \)の時の効率\( \ \eta ^{\prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta ^{\prime }&=&\frac {P_{\mathrm {o}}^{\prime }}{\displaystyle P_{\mathrm {o}}^{\prime }+p_{\mathrm {i}}+p_{\mathrm {c}}^{\prime }} \\[ 5pt ]
&=&\frac {500}{\displaystyle 500+40+10} \\[ 5pt ]
&≒&0.9091 → 91 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(エ)
単相変圧器の出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)は，電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \)，電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \)，力率\( \ \cos \theta \)を用いて，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}}&=&VI\cos \theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で与えられ，これより，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{V\cos \theta } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。出力及び力率一定で電圧が\( \ 20 \ \mathrm {[％]} \ \)低下したときの電流\( \ I^{\prime } \ \mathrm {[A]} \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I^{\prime }&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{0.8V\cos \theta } \\[ 5pt ]
&=&\frac {I}{0.8} \\[ 5pt ]
&=&1.25I \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，このときの銅損\( \ p_{\mathrm {c}}^{\prime \prime } \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
p_{\mathrm {c}}^{\prime \prime } &=&\left( \frac {1.25I}{I}\right) ^{2}\times p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
&=&1.5625\times 40 \\[ 5pt ]
&=&62.5 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(オ)
（エ）より，出力電圧が\( \ 20 \ \mathrm {[％]} \ \)低下した状態での効率\( \ \eta ^{\prime \prime } \ \)は，鉄損\( \ p_{\mathrm {i}}^{\prime \prime }=0.8^{2}\times 40 =25.6 \ \mathrm {[W]} \ \)が与えられているので，
\[
\begin{eqnarray}
\eta ^{\prime \prime }&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\displaystyle P_{\mathrm {o}}+p_{\mathrm {i}}^{\prime \prime }+p_{\mathrm {c}}^{\prime \prime }} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1000}{\displaystyle 1000+25.6+62.5} \\[ 5pt ]
&≒&0.9190 → 92 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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