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【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
\( \ 2 \ \)進数，\( \ 10 \ \)進数，\( \ 16 \ \)進数に関する記述として，誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 16 \ \)進数の\( \ \left( 6\right) _{16} \ \)を\( \ 16 \ \)倍すると\( \ \left( 60\right) _{16} \ \)になる。
(2) \( \ 2 \ \)進数の\( \ \left( 1010101\right) _{2} \ \)と\( \ 16 \ \)進数の\( \ \left( 57\right) _{16} \ \)を比較すると\( \ \left( 57\right) _{16} \ \)の方が大きい。
(3) \( \ 2 \ \)進数の\( \ \left( 1011\right) _{2} \ \)を\( \ 10 \ \)進数に変換すると\( \ \left( 11\right) _{10} \ \)になる。
(4) \( \ 10 \ \)進数の\( \ \left( 12\right) _{10} \ \)を\( \ 16 \ \)進数に変換すると\( \ \left( \mathrm {C}\right) _{16} \ \)になる。
(5) \( \ 16 \ \)進数の\( \ \left( 3\mathrm {D}\right) _{16} \ \)を\( \ 2 \ \)進数に変換すると\( \ \left( 111011\right) _{2} \ \)になる。
【ワンポイント解説】
基数変換に関する問題です。
基数変換は最初は少し戸惑うかもしれませんが，慣れてしまうとパターンが分かるため，確実な得点源となります。また，すべて\( \ 10 \ \)進数にしてしまうのも一つの作戦として有効です。
試験本番までに確実に理解し，得点できるようにしましょう。
1.主な進数の対応表
コンピュータ等のディジタル信号は主に\( \ 2 \ \)進数が使用されるため，電験でも基数変換は出題されます。
電験で出題される\( \ 2 \ \)進数，\( \ 8 \ \)進数，\( \ 10 \ \)進数，\( \ 16 \ \)進数の対応表は下表の通りとなります。表を覚えるのではなくルールを理解するようにしましょう。
\[
\begin{array}{|r|r|r|r|}
\hline
2 \ 進数 & 8 \ 進数 & 10 \ 進数 & 16 \ 進数 \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
10 & 2 & 2 & 2 \\
\hline
11 & 3 & 3 & 3 \\
\hline
100 & 4 & 4 & 4 \\
\hline
101 & 5 & 5 & 5 \\
\hline
110 & 6 & 6 & 6 \\
\hline
111 & 7 & 7 & 7 \\
\hline
1000 & 10 & 8 & 8 \\
\hline
1001 & 11 & 9 & 9 \\
\hline
1010 & 12 & 10 & \mathrm {A} \\
\hline
1011 & 13 & 11 & \mathrm {B} \\
\hline
1100 & 14 & 12 & \mathrm {C} \\
\hline
1101 & 15 & 13 & \mathrm {D} \\
\hline
1110 & 16 & 14 & \mathrm {E} \\
\hline
1111 & 17 & 15 & \mathrm {F} \\
\hline
10000 & 100 & 16 & 10 \\
\hline
\end{array}
\]
2.\( \ 10 \ \)進数から\( \ 2 \ \)進数への変換
\( \ 10 \ \)進数から\( \ 2 \ \)進数への変換は，\( \ 2 \ \)で割った余りを下から順に並べると求められます。
具体的に\( \ 10 \ \)進数の\( \ \left( 30\right) _{10} \ \)を\( \ 2 \ \)進数へ変換すると，
\[
\begin{array}{cccc}
2) & 30 & & & \\
\hline
2) & 15 & \cdots & 0 \\
\hline
2) & 7 & \cdots & 1 \\
\hline
2) & 3 & \cdots & 1 \\
\hline
2) & 1 & \cdots & 1 \\
\hline
& 0 & \cdots & 1 \\
\end{array}
\]
ゆえに，
\[
\begin{eqnarray}
\left( 30\right) _{10} &=&\left( 11110\right) _{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。\( \ 8 \ \)進数や\( \ 16 \ \)進数への変換も同様に行うことができます。
3.\( \ 2 \ \)進数から\( \ 10 \ \)進数への変換
\( \ 2 \ \)進数を\( \ 10 \ \)進数にするためには各桁に\( \ 2^{x}(x=0,1,2・・・) \ \)乗をかけて導出できます。
例えば，\( \ 2 \ \)進数の\( \ \left( 101010\right) _{2} \ \)を\( \ 10 \ \)進数へ変換すると，
\[
\begin{eqnarray}
\left( 101010\right) _{2}&=&1\times 2^{5}+0\times 2^{4}+1\times 2^{3}+0\times 2^{2}+1\times 2^{1}+0\times 2^{0} \\[ 5pt ]
&=&32+0+8+0+2+0 \\[ 5pt ]
&=&42 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。\( \ 8 \ \)進数や\( \ 16 \ \)進数も同様に求められます。
4.\( \ 2 \ \)進数から\( \ 16 \ \)進数への変換
\( \ 2 \ \)進数を\( \ 16 \ \)進数にするためには，\( \ 4 \ \)桁ごとに\( \ 16 \ \)進数に変換していきます。
例えば，\( \ 2 \ \)進数の\( \ \left( 11011010\right) _{2} \ \)を\( \ 16 \ \)進数へ変換すると，
\[
\begin{eqnarray}
\left( 1101\right) _{2}&=&\left( \mathrm {D}\right) _{16} \\[ 5pt ]
\left( 1010\right) _{2}&=&\left( \mathrm {A}\right) _{16} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\left( 11011010\right) _{2}&=&\left( \mathrm {DA}\right) _{16} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。\( \ 16 \ \)進数から\( \ 2 \ \)進数への変換も逆の操作により求めることができます。
【解答】
解答：(5)
(1)正しい
\( \ \left( 6\right) _{16} =\left( 6\right) _{10} \ \)なので，\( \ 16 \ \)倍すると，\( \ \left( 96\right) _{10} \ \)となり，ワンポイント解説「2.\( \ 10 \ \)進数から\( \ 2 \ \)進数への変換」の通り，\( \ 16 \ \)進数に変換すると，
\[
\begin{array}{cccc}
16) & 96 & & & \\
\hline
16) & 6 & \cdots & 0 \\
\hline
& 0 & \cdots & 6 \\
\end{array}
\]
となり，
\[
\begin{eqnarray}
\left( 96\right) _{10} &=&\left( 60\right) _{16} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と変換することができます。
(2)正しい
ワンポイント解説「4.\( \ 2 \ \)進数から\( \ 16 \ \)進数への変換」の通り，\( \ 2 \ \)進数の\( \ \left( 1010101\right) _{2} \ \)を\( \ 16 \ \)進数に変換すると，
\[
\begin{eqnarray}
\left( 1010101\right) _{2}&=&\left( 0101 \ 0101\right) _{2} \\[ 5pt ]
&=&\left( \mathrm {55}\right) _{16} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ \left( 1010101\right) _{2}\lt \left( 57\right) _{16} \ \)となります。
(3)正しい
ワンポイント解説「3.\( \ 2 \ \)進数から\( \ 10 \ \)進数への変換」の通り，\( \ 2 \ \)進数の\( \ \left( 1011\right) _{2} \ \)を\( \ 10 \ \)進数に変換すると，
\[
\begin{eqnarray}
\left( 1011\right) _{2}&=&1\times 2^{3}+0\times 2^{2}+1\times 2^{1}+1\times 2^{0} \\[ 5pt ]
&=&8+0+2+1 \\[ 5pt ]
&=&11 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。
(4)正しい
ワンポイント解説「1.主な進数の対応表」の通り，\( \ 10 \ \)進数の\( \ \left( 12\right) _{10} \ \)を\( \ 16 \ \)進数に変換すると\( \ \left( \mathrm {C}\right) _{16} \ \)となります。
(5)誤り
\[
\begin{eqnarray}
\left( \mathrm {3}\right) _{16}&=&\left( 0011\right) _{2} \\[ 5pt ]
\left( \mathrm {D}\right) _{16}&=&\left( 1101\right) _{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，
\[
\begin{eqnarray}
\left( \mathrm {3D}\right) _{16}&=&\left( 00111101\right) _{2} \\[ 5pt ]
&=&\left( 111101\right) _{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。したがって，\( \ \left( 111011\right) _{2} \ \)は誤りとなります。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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