《機械》〈回転機〉[R4下:問2]三相誘導電動機の軸出力の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

三相誘導電動機が滑り\( \ 2.5 \ ％ \ \)で運転している。このとき，電動機の二次銅損が\( \ 188 \ \mathrm {W} \ \)であるとすると，電動機の軸出力\( \ \mathrm {[kW]} \ \)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，機械損は\( \ 0.2 \ \mathrm {kW} \ \)とし，負荷に無関係に一定とする。

(1)　\( \ 7.1 \ \)　　(2)　\( \ 7.3 \ \)　　(3)　\( \ 7.5 \ \)　　(4)　\( \ 8.0 \ \)　　(5)　\( \ 8.5 \ \)

【ワンポイント解説】

三相誘導電動機の軸出力を求める問題です。
機械損を扱う問題は出題されにくいため，機械損の扱いに迷ってしまった受験生が多いのではないかと思います。
機械損は回転軸と軸受間等の摩擦損や空気抵抗による風損があり，電動機の出力から機械損を差し引いたものが回転軸に加わる軸出力になります。

1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)
三相誘導電動機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.誘導機の滑り\( \ s \ \)
誘導機の同期速度が\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)，回転子の回転速度が\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)である時，誘導機の滑り\( \ s \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と定義されます。これを整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
sN_{\mathrm {s}} &=&N_{\mathrm {s}}-N \\[ 5pt ] N &=&N_{\mathrm {s}}-sN_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] &=&N_{\mathrm {s}}\left( 1-s \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と同期速度から回転速度が導出できます。

3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係
誘導電動機の\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路は図1のようになります。図1において，\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次側端子電圧，\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流，\( \ {\dot I}_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は二次電流の一次換算，\( \ {\dot I}_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流，\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次巻線抵抗，\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次巻線抵抗の一次換算，\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次漏れリアクタンス，\( \ x_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次漏れリアクタンスの一次換算，\( \ s \ \)は滑りとなります。
図1より，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=& 3\frac {1-s}{s}r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {c2}} &=& 3r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{2} &=& P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {c2}} =3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}：P_{\mathrm {o}}：P_{\mathrm {c2}} &=& 1：(1-s)：s \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があることが分かります。

【解答】

解答：(1)
ワンポイント解説「3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係」の通り，誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}：P_{\mathrm {o}}：P_{\mathrm {c2}} &=& 1：(1-s)：s \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があるから，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=&\frac {1-s}{s}P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1-0.025}{0.025}\times 188 \\[ 5pt ] &=&7332 \ \mathrm {[W]}　→　7.332 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。機械損\( \ P_{\mathrm {m}}=0.2 \ \mathrm {[kW]} \ \)であるから，軸出力\( \ P_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {s}} &=&P_{\mathrm {o}}-P_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] &=&7.332-0.2 \\[ 5pt ] &=&7.132　→　7.1 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。