《機械》〈電動機応用〉[R05上:問11]電動機と減速機を組み合わせた負荷の駆動に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図に示すように,電動機が減速機と組み合わされて負荷を駆動している。このときの電動機の回転速度\( \ n_{m} \ \)が\( \ 1 \ 150 \ \mathrm {{min}^{-1}} \ \),トルク\( \ T_{m} \ \)が \( \ 100 \ \mathrm {N\cdot m} \ \)であった。減速機の減速比が\( \ 8 \ \),効率が\( \ 0.95 \ \)のとき,負荷の回転速度\( \ n_{L} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \),軸トルク\( \ T_{L} \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)及び軸入力\( \ P_{L} \ \mathrm {[kW]} \ \)の値として,最も近いものを組み合わせたのは次のうちどれか。

\[
\begin{array}{cccc}
&  n_{L} \ \mathrm {[{min}^{-1}]}  &  T_{L} \ \mathrm {[N\cdot m]}  &  P_{L} \ \mathrm {[kW]}  \\
\hline
(1) &  136.6  &  11.9  &  11.4  \\
\hline
(2) &  143.8  &  760 \ \    &  11.4  \\
\hline
(3) &  9 \ 200    &  760 \ \    &  6 \ 992 \ \     \\
\hline
(4) &  143.8  &  11.9  &  11.4  \\
\hline
(5) &  9 \ 200    &  11.9  &  6 \ 992 \ \     \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

電動機と減速機を組み合わせた負荷の駆動に関する問題です。
以下に公式を紹介しますが,公式を覚えるというよりも,図を見ながらメカニズムを理解し解けるようになるのが理想です。
本問は平成20年問11からの再出題となります。

1.減速機での回転速度,トルク
図1のように歯数\( \ t_{1} \ \)及び\( \ t_{2} \ \)の減速機があり,それぞれ電動機と負荷に繋いだときの電動機の回転速度\( \ n_{1} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \),負荷の回転速度\( \ n_{2} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)とすると,歯車の嚙み合う歯数は等しいことから,
\[
\begin{eqnarray}
n_{1}t_{1} &=&n_{2}t_{2} \\[ 5pt ] \frac {t_{2}}{t_{1}} &=& \frac {n_{1}}{n_{2}}=a \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,これを減速比といいます。減速機の効率を\( \ \eta \ \),電動機の軸出力を\( \ P_{1} \ \mathrm {[W]} \ \),負荷への軸入力を\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
P_{2} &=&\eta P_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があるため,電動機の軸トルク\( \ T_{1} \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)と負荷の軸トルク\( \ T_{2} \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)の関係は,それぞれの角速度を\( \ \omega _{1} \ \mathrm {[rad / s]} \ \),\( \ \omega _{2} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{2}T_{2} &=&\eta \omega _{1}T_{1} \\[ 5pt ] \frac {2\pi n_{2}}{60}\cdot T_{2} &=&\eta \cdot \frac {2\pi n_{1}}{60}\cdot T_{1} \\[ 5pt ] n_{2} T_{2} &=&\eta n_{1}T_{1} \\[ 5pt ] T_{2} &=&\eta \cdot \frac {n_{1}}{n_{2}}\cdot T_{1} \\[ 5pt ] &=&\eta a T_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答:(2)
減速比\( \ a=8 \ \)であるから,負荷の回転速度\( \ n_{L} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は,ワンポイント解説「1.減速機での回転速度,トルク」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
n_{L} &=&\frac {n_{m}}{a} \\[ 5pt ] &=&\frac {1 \ 150}{8} \\[ 5pt ] &=&143.75 → 143.8 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

電動機の軸出力\( \ P_{m} \ \mathrm {[kW]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{m} &=&\omega _{m}T_{m} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\pi n_{m}}{60}\cdot T_{m} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\pi \times 1 \ 150}{60}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&12 \ 040 \ \mathrm {[W]} → 12.04 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,減速機の効率が\( \ \eta =0.95 \ \)であるから,負荷の軸入力\( \ P_{L} \ \mathrm {[kW]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{L} &=&\eta P_{m} \\[ 5pt ] &=&0.95\times 12.04 \\[ 5pt ] &≒&11.44 → 11.4 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

また,負荷の軸トルク\( \ T_{L} \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
T_{L} &=&\frac {P_{m}}{\omega _{m}} \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{m}}{\displaystyle \frac {2\pi n_{m}}{60}} \\[ 5pt ] &=&\frac {60P_{m}}{2\pi n_{m}} \\[ 5pt ] &=&\frac {60\times 11.44\times 10^{3}}{2\pi \times 143.75} \\[ 5pt ] &≒&760 \ \mathrm {[N\cdot m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。