《機械》〈直流機〉[R05上:問2]界磁に永久磁石を用いた小形直流電動機の効率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

界磁に永久磁石を用いた小形直流電動機があり，電源電圧は定格の\( \ 12 \ \mathrm {V} \ \)，回転を始める前の静止状態における始動電流は\( \ 4 \ \mathrm {A} \ \)，定格回転数における定格電流は\( \ 1 \ \mathrm {A} \ \)である。定格運転時の効率の値\( \ [％] \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，ブラシの接触による電圧降下及び電機子反作用は無視できるものとし，損失は電機子巻線による銅損しか存在しないものとする。

　(1)　\( \ 60 \ \)　　(2)　\( \ 65 \ \)　　(3)　\( \ 70 \ \)　　(4)　\( \ 75 \ \)　　(5)　\( \ 80 \ \)

【ワンポイント解説】

界磁に永久磁石を用いた小形直流電動機の効率を求める問題です。
界磁に永久磁石を用いるため界磁の調整ができず，大形化が難しい等のデメリットがありますが，構造が簡単になる等の特徴があります。等価回路は他励電動機の界磁回路を省いたものと考えればよいです。
平成29年問1に全く同じ問題が出題されています。

1.直流他励電動機の等価回路
図1に直流他励電動機の等価回路を示します。図1において，\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)は端子電圧，\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は逆起電力，\( \ V_{\mathrm {f}} \ \mathrm {[V]} \ \)は界磁電圧，\( \ I_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[A]} \ \)は電機子電流，\( \ I_{\mathrm {f}} \ \mathrm {[A]} \ \)は界磁電流，\( \ R_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は電機子抵抗，\( \ R_{\mathrm {f}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は界磁抵抗となります。
他励式の特徴としては，界磁回路が独立しているので，界磁磁束を独立して制御できるという特徴があります。

また，上記の等価回路にキルヒホッフの法則を適用すると，以下の関係式が導き出せることが分かります。
\[
\begin{eqnarray}
V &=& E+R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ] I_{\mathrm {f}} &=& \frac {V_{\mathrm {f}}}{R_{\mathrm {f}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

2.直流機の誘導起電力(逆起電力)\( \ E \ \)
磁極の数\( \ p \ \)，電機子導体数\( \ Z \ \)，電機子巻線並列回路数\( \ a \ \)，各極の磁束\( \ \phi \ \mathrm {[Wb]} \ \)，回転速度\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)とすると，直流機の誘導起電力(逆起電力)\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\frac {pZ}{60a}\phi N \\[ 5pt ] &=&k_{\mathrm {e}}\phi N \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，磁束\( \ \phi \ \mathrm {[Wb]} \ \)と回転速度\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)に比例します。

【解答】

解答：(4)
題意より，電源電圧は\( \ V=12 \ \mathrm {[V]} \ \)，回転を始める状態\(( \ N=0 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ )\)のときの始動電流（電機子電流）\( \ I_{\mathrm {a0}}=4 \ \mathrm {[A]} \ \)であり，逆起電力\( \ E=0 \ \mathrm {[V]} \ \)であるから，電機子抵抗\( \ R_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，図1の回路方程式より，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&E+R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {a0}} \\[ 5pt ] V&=&R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {a0}} \\[ 5pt ] R_{\mathrm {a}}&=&\frac {V}{I_{\mathrm {a0}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {12}{4} \\[ 5pt ] &=&3 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。定格回転時，定格電流\( \ I_{\mathrm {an}}=1 \ \mathrm {[A]} \ \)であるから，逆起電力\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&V-R_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {an}} \\[ 5pt ] &=&12-3\times 1 \\[ 5pt ] &=&9 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {EI_{\mathrm {an}}}{VI_{\mathrm {an}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {E}{V}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {9}{12}\times 100 \\[ 5pt ] &=&75 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。