《機械》〈誘導機〉[R05上:問4]三相誘導電動機のトルクの導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

定格出力\( \ 36 \ \mathrm {kW} \ \),定格周波数\( \ 60 \ \mathrm {Hz} \ \),\( \ 8 \ \)極のかご形三相誘導電動機があり,滑り\( \ 4 \ \mathrm {%} \ \)で定格運転している。このとき,電動機のトルク\( \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,機械損は無視できるものとする。

 (1) \( \ 382 \ \)  (2) \( \ 398 \ \)  (3) \( \ 428 \ \)  (4) \( \ 458 \ \)  (5) \( \ 478 \ \)

【ワンポイント解説】

かご形三相誘導電動機のトルクを導出する問題です。
この問題を解くための解法自体は難解ではありませんが,以下のワンポイント解説に示すように,それに関連する知識は多い問題です。
少し古い過去問ですが,平成16年問4の再出題となります。

1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)
三相誘導電動機の極数が\( \ p \ \),電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時,同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また,同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\pi }{60}\cdot \frac {120f}{p} \\[ 5pt ] &=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

2.誘導機の滑り\( \ s \ \)
誘導機の同期速度が\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \),回転数が\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)である時,誘導機の滑り\( \ s \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係
誘導電動機の\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路は図1のようになります。図1において,\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次側端子電圧,\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流,\( \ {\dot I}_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は二次電流の一次換算,\( \ {\dot I}_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流,\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次巻線抵抗,\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次巻線抵抗の一次換算,\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次漏れリアクタンス,\( \ x_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次漏れリアクタンスの一次換算,\( \ s \ \)は滑りとなります。
図1より,出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \),二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \),二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=& 3\frac {1-s}{s}r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {c2}} &=& 3r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{2} &=& P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {c2}} =3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \),出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \),二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)には,
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}:P_{\mathrm {o}}:P_{\mathrm {c2}} &=& 1:(1-s):s \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があることが分かります。

4.誘導電動機のトルク\( \ T \ \)
図1より,
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}^{\prime } &=& \frac {V_{1}}{\displaystyle \sqrt{\left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから,二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}&=&3\frac {r_{2}^{\prime}}{s}{I^{\prime}_{2}}^{2} \\[ 5pt ] &=&3\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\cdot \left( {\frac {V_{1}}{\displaystyle \sqrt{\left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {3r_{2}^{\prime}}{s}\cdot \frac {V_{1}^{2}}{\displaystyle \left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}
\end{eqnarray}
\] となり,発生するトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ] &=&\frac {(1-s)P_{2}}{(1-s)\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{2}}{\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3r_{2}^{\prime}}{\omega _{\mathrm {s}}s}\cdot \frac {V_{1}^{2}}{\displaystyle \left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答:(2)
三相誘導電動機の同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は,ワンポイント解説「1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ] &=&\frac {4\pi \times 60}{8} \\[ 5pt ] &≒&94.25 \ \mathrm {[rad / s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よってトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は,出力\( \ P_{\mathrm {o}}=36 \ \mathrm {[kW]} \ \),滑り\( \ s=4 \ \mathrm {[%]} \ \)であるから,ワンポイント解説「4.誘導電動機のトルク\( \ T \ \)」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
T &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega _{\mathrm {s}}\left( 1-s \right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {36\times 10^{3}}{94.25\times \left( 1-0.04 \right) } \\[ 5pt ] &≒&398 \ \mathrm {[N\cdot m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。