《機械》〈変圧器〉[R07上:問9]変圧器の力率変化に伴う効率変化に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

ある変圧器の負荷力率\( \ 100 \ \mathrm {％} \ \)における全負荷効率は\( \ 98 \ \mathrm {％} \ \)である。この変圧器の負荷力率\( \ 80 \ \mathrm {％} \ \)における全負荷効率\( \ \mathrm {[％]} \ \)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 78.4 \ \)　　(2)　\( \ 81.6 \ \)　　(3)　\( \ 97.5 \ \)　　(4)　\( \ 98.4 \ \)　　(5)　\( \ 99.6 \ \)

【ワンポイント解説】

変圧器の力率変化に伴う効率変化に関する問題です。
一旦負荷や損失の値を仮に設定するという数学的手法を苦手とする受験生は多いため，正答率が低かったと予想される問題です。\( \ 2 \ \)種以上を目指す方は二次試験で高い数学力が求められますので，必ず本問はできるようにしておいて下さい。
本問はやや古いですが，平成11年問12の数値を少し変えた問題です。

1.変圧器の効率\( \ \eta \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)があり，\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷によらず一定であり，\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷（電流）の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って，定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[W]} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ] &=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答：(3)
変圧器負荷の皮相電力を\( \ S_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，全損失を\( \ P_{\mathrm {l}} \ \mathrm {[W]} \ \)とすると，力率\( \ 100 \ \mathrm {％} \ \)における全負荷効率\( \ \left( \alpha =1 \right. \ \)のときの効率\(\left. \right) \ \)が\( \ 0.98 \ \left( 98 \ \mathrm {％}\right) \ \)であることから，
\[
\begin{eqnarray}
0.98 &=&\frac {S_{\mathrm {n}}}{S_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {l}}} \\[ 5pt ] 0.98 \left( S_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {l}}\right) &=&S_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] 0.98 S_{\mathrm {n}}+0.98 p_{\mathrm {l}} &=&S_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] 0.02 S_{\mathrm {n}} &=&0.98 p_{\mathrm {l}} \\[ 5pt ] S_{\mathrm {n}} &=&49 p_{\mathrm {l}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，負荷力率\( \ \cos \theta =0.8 \ \left( 80 \ \mathrm {％}\right) \ \)のときの全負荷力率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {S_{\mathrm {n}}\cos \theta }{S_{\mathrm {n}}\cos \theta +p_{\mathrm {l}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {49 p_{\mathrm {l}}\times 0.8 }{49 p_{\mathrm {l}}\times 0.8 +p_{\mathrm {l}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {49 \times 0.8 }{49\times 0.8 +1} \\[ 5pt ] &≒&0.975　→　97.5 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。