《機械》〈電熱〉[R07下:問12]電気炉の炉壁を伝わる熱に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

電気炉の壁の外面に垂直に小穴をあけ，温度計を挿入して壁の外面から\( \ 10 \ \mathrm {cm} \ \)と\( \ 30 \ \mathrm {cm} \ \)の箇所で壁の内部温度を測定したところ，それぞれ\( \ 72 \ \mathrm {{}^{\circ}C} \ \)と\( \ 142 \ \mathrm {{}^{\circ}C} \ \)の値が得られた。炉壁の熱伝導率を\( \ 0.94 \ \mathrm {W / (m\cdot K)} \ \)とすれば，この炉壁からの単位面積当たりの熱損失\( \ \mathrm {[W / m^{2} ]} \ \)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，壁面に垂直な方向の温度こう配は一定とする。

　(1)　\( \ 1 \ 490 \ \)　　(2)　\( \ 329 \ \)　　(3)　\( \ 165 \ \)　　(4)　\( \ 14.9 \ \)　　(5)　\( \ 3.29 \ \)　　

【ワンポイント解説】

与えられた条件から電気炉の炉壁を伝わる熱の熱流を導出する問題です。
不得手としている受験生も多く正答率があまり高くない分野ですが，電気回路の問題と比較するとイメージしやすく易しい問題も多い印象です。ぜひ慣れて得点源とするようにして下さい。
本問はやや古いですが平成11年問7からの再出題となります。

1.熱伝導
図1に示すように，ある温度差がある物体において，高温部から低温部に向かい熱が伝わる現象を熱伝導といいます。
物体の温度差を\( \ \theta =T_{1}-T_{2} \ \mathrm {[K]} \ \)，熱抵抗を\( \ R \ \mathrm {[K / W]} \ \)とすると，物体の熱流\( \ I \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& \frac {\theta }{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これを熱力学のオームの法則といいます。
物体の熱伝導率が\( \ \lambda \ \mathrm {[W / (m\cdot K )]} \ \)，断面積が\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)，長さが\( \ l \ \mathrm {[m]} \ \)であるとき，物体の熱抵抗\( \ R \ \mathrm {[K / W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R &=& \frac {l}{\lambda S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

解答：(2)
題意に沿ってイメージ図を描くと図2のようになる。
炉壁\( \ 1 \ \mathrm {m^{2}} \ \)あたりの熱抵抗\( \ R \ \mathrm {[K / W]} \ \)は，物体の熱伝導率\( \ \lambda =0.94 \ \mathrm {[W / (m\cdot K )]} \ \)，長さ\( \ l=0.3-0.1=0.2 \ \mathrm {[m]} \ \)であるから，ワンポイント解説「1.熱伝導」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
R &=& \frac {l}{\lambda S} \\[ 5pt ] &=& \frac {0.2}{0.94 \times 1} \\[ 5pt ] &≒& 0.212 \ 8 \ \mathrm {[K / W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，単位面積当たりの熱損失（熱流）\( \ I \ \mathrm {[W / m^{2} ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.熱伝導」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& \frac {T_{1}-T_{2}}{R} \\[ 5pt ] &=& \frac {142-72}{0.212 \ 8} \\[ 5pt ] &≒& 329 \ \mathrm {[W / m^{2} ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。