《理論》〈電気回路〉[H20:問15]抵抗と誘導性リアクタンスを組み合わせた三相平衡回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

図のように,抵抗\( \ 6 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と誘導性リアクタンス\( \ 8 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を\( \ \mathrm {Y} \ \)結線し,抵抗\( \ r \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を\( \ \Delta \ \)結線した平衡三相負荷に,\( \ 200 \ \mathrm {[V]} \ \)の対称三相交流電源を接続した回路がある。抵抗\( \ 6 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と誘導性リアクタンス\( \ 8 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に流れる電流の大きさを\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \),抵抗\( \ r \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に流れる電流の大きさを\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)とするとき,次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)と電流\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさが等しいとき,抵抗\( \ r \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ 6.0 \ \)  (2) \( \ 10.0 \ \)  (3) \( \ 11.5 \ \)  (4) \( \ 17.3 \ \)  (5) \( \ 19.2 \ \)

(b) 電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)と電流\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさが等しいとき,三相平衡負荷が消費する電力\( \ \mathrm {[kW]} \ \)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ 2.4 \ \)  (2) \( \ 3.1 \ \)  (3) \( \ 4.0 \ \)  (4) \( \ 9.3 \ \)  (5) \( \ 10.9 \ \)

【ワンポイント解説】

三相交流回路の計算問題です。
\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換を用いて一相分の等価回路として考えても良いですが,本問の場合は\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)と\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさが等しいとなっているので,まずは\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)を求めてしまった方が早く解けるかなと思います。
ただし,制限時間内で正答が導き出せれば全く問題はないので,得意な方法を選択されて大丈夫です。

1.抵抗,コイル,コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \),コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり,電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき,それぞれのインピーダンスは,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ,それぞれの電圧と電流の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この関係をベクトル図に表すと,図1~図3となります。

2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \),リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び,図4のようにベクトル図を描きます。さらに,有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ,
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。図4において,力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され,
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

また,線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき,皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \),有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \),無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は,インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ] P &=&RI^{2} \\[ 5pt ] Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため,\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。

3.\( \ \mathrm {Y} \ \)結線における相電圧と線間電圧の関係
図6のような三相対称電源がある時,線間電圧と相電圧の関係は図7のベクトル図のようになり,線間電圧の大きさ\( \ V \ \)は相電圧の大きさ\( \ E \ \)と比較すると,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {ab}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {bc}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {ca}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] かつ\( \ \displaystyle \frac {\pi }{6} \)(30°)進みであることが分かります。

4.\( \ \Delta \ \)結線における相電流と線電流の関係
図8のような三相対称電源がある時,線電流と相電流の関係は図9のベクトル図のようになり,線電流の大きさは相電流の大きさと比較すると,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {a}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {ab}} \\[ 5pt ] I_{\mathrm {b}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {bc}} \\[ 5pt ] I_{\mathrm {c}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {ca}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] かつ\( \ \displaystyle \frac {\pi }{6} \)(30°)遅れであることが分かります。

【解答】

(a)解答:(4)
抵抗\( \ 6 \ \mathrm {\Omega } \ \)と誘導性リアクタンス\( \ 8 \ \mathrm {\Omega } \ \)の合成インピーダンス\( \ Z_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の大きさは,ワンポイント解説「1.抵抗,コイル,コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
Z_{1} &=&\sqrt {6^{2}+8^{2}} \\[ 5pt ] &=&10 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である。\( \ Z_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に加わる電圧\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は,ワンポイント解説「3.\( \ \mathrm {Y} \ \)結線における相電圧と線間電圧の関係」の通り\( \ \displaystyle V_{1}=\frac {200}{\sqrt {3}} \ \mathrm {[V]} \ \)であるから,電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
I_{1} &=&\frac {V_{1}}{Z_{1}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {200}{\sqrt {3}}}{10} \\[ 5pt ] &≒&11.55 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。題意より\( \ I_{1}=I_{2} \ \)であり,抵抗\( \ r \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に加わる電圧は\( \ 200 \ \mathrm {V} \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
r &=&\frac {200}{I_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {200}{11.55} \\[ 5pt ] &≒&17.32 → 17.3 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(4)
図中の回路が消費する電力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は\( \ 6 \ \mathrm {\Omega } \ \)の抵抗と\( \ r=17.32 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗が消費する電力の合計である。したがって,
\[
\begin{eqnarray}
P &=&6\times I_{1}^{2}\times 3+r\times I_{2}^{2}\times 3 \\[ 5pt ] &=&6\times I_{1}^{2}\times 3+r\times I_{1}^{2}\times 3 \\[ 5pt ] &=&\left( 6+r\right) \times I_{1}^{2}\times 3 \\[ 5pt ] &=&\left( 6+17.32\right) \times 11.55^{2}\times 3 \\[ 5pt ] &≒&9 \ 330 \ \mathrm {[W]} → 9.3 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。