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【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
図に示す回路において，スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じた瞬間(時刻\( \ t = 0 \ \))に点\( \ \mathrm {A} \ \)を流れる電流を\( \ I_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)とし，十分に時間が経ち，定常状態に達したのちに点\( \ \mathrm {A} \ \)を流れる電流を\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)とする。 電流比\( \ \displaystyle \frac {I_{0}}{I} \ \)の値を\( \ 2 \ \)とするために必要な抵抗\( \ R_{3} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の値を表す式として，正しいのは次のうちどれか。
ただし，コンデンサの初期電荷は零とする。
\[
\begin{eqnarray}
&(1)& \frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\left( \frac {R_{1}}{2}+R_{2}\right) &(2)& \frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\left( \frac {R_{2}}{3}-R_{1}\right) \\[ 5pt ]
&(3)& \frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\left( R_{1}-R_{2}\right) &(4)& \frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\left( R_{1}+R_{2}\right) \\[ 5pt ]
&(5)& \frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\left( R_{2}-R_{1}\right) && \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
過渡現象と回路演算を組み合わせた問題です。
考え方自体はそれほど難しくありませんが，やや計算力を必要とする問題かと思います。
繁分数式の計算\( \ \displaystyle \frac {\displaystyle \frac {a}{b}}{\displaystyle \frac {c}{d}}=\displaystyle \frac {a}{b}÷\displaystyle \frac {c}{d}=\displaystyle \frac {a}{b}\times \displaystyle \frac {d}{c}=\displaystyle \frac {ad}{bc} \ \)は電験では必須となりますので，必ず理解しておきましょう。
1.合成抵抗
抵抗\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)が与えられている時，それぞれの合成抵抗\( \ R \ \)は以下の式で与えられます。
①直列
直列合成抵抗\( \ R \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
②並列
並列合成抵抗\( \ R \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.過渡現象におけるリアクトルの過渡状態と定常状態
① 過渡状態
リアクトルに流れる電流値を維持しようとする働きをします。したがって，リアクトルに電圧を印加した瞬間はほとんど電流は流れないので，開放として考えます。
② 定常状態
電圧を印加して十分時間が経過した後は，リアクトルの抵抗はほぼ零になります。したがって，短絡として考えます。
3.過渡現象におけるコンデンサの過渡状態と定常状態
① 過渡状態
コンデンサに蓄えられている電荷が零であるので，電流がものすごく流れやすい状態，すなわち短絡として考えます。
② 定常状態
コンデンサに十分に電荷が蓄えられているので，電流をこれ以上蓄えようとしない，すなわち開放として考えます。
【解答】
解答：(5)
過渡状態においては，ワンポイント解説「3.過渡現象におけるコンデンサの過渡状態と定常状態」の通り，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は短絡と考えれば良く，回路の合成抵抗\( \ R_{\mathrm {t}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {t}}&=&R_{1}+\frac {R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{1}\left( R_{2}+R_{3}\right) +R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}+R_{3}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，このときの電流\( \ I_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{0}&=&\frac {E}{R_{\mathrm {t}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {E}{\displaystyle \frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}+R_{3}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( R_{2}+R_{3}\right) E}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。また，定常状態においては，ワンポイント解説「3.過渡現象におけるコンデンサの過渡状態と定常状態」の通り，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は開放と考えれば良く，回路の合成抵抗\( \ R_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {s}}&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，このときの電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {E}{R_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {E}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，電流比\( \ \displaystyle \frac {I_{0}}{I}=2 \ \)となる関係より，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {I_{0}}{I}&=&2 \\[ 5pt ]
\frac {\displaystyle \frac {\left( R_{2}+R_{3}\right) E}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}}{\displaystyle \frac {E}{R_{1}+R_{2}}}&=&2 \\[ 5pt ]
\frac {\displaystyle \frac {R_{2}+R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}}{\displaystyle \frac {1}{R_{1}+R_{2}}}&=&2 \\[ 5pt ]
\frac {\left( R_{1}+R_{2}\right) \left( R_{2}+R_{3}\right) }{R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}&=&2 \\[ 5pt ]
\left( R_{1}+R_{2}\right) \left( R_{2}+R_{3}\right) &=&2\left( R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}\right) \\[ 5pt ]
R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}^{2}+R_{2}R_{3} &=&2R_{1}R_{2}+2R_{2}R_{3}+2R_{3}R_{1} \\[ 5pt ]
R_{2}^{2} &=&R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1} \\[ 5pt ]
R_{2}^{2}-R_{1}R_{2} &=&R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1} \\[ 5pt ]
R_{2}\left( R_{2}-R_{1}\right) &=&R_{3}\left( R_{1}+R_{2}\right) \\[ 5pt ]
R_{3}&=&\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\left( R_{2}-R_{1}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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