《理論》〈電磁気〉[R3:問1]平行板コンデンサにおける電気力線と電束の性質に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

次の文章は,平行板コンデンサに関する記述である。

図のように,同じ寸法の直方体で誘電率の異なる二つの誘電体(比誘電率\( \ \varepsilon _{\mathrm {r1}} \ \)の誘電体\( \ 1 \ \)と比誘電率\( \ \varepsilon _{\mathrm {r2}} \ \)の誘電体\( \ 2 \ \))が平行板コンデンサに充填されている。極板間は一定の電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)に保たれ,極板\( \ \mathrm {A} \ \)と極板\( \ \mathrm {B} \ \)にはそれぞれ\( \ +Q \ \mathrm {[C]} \ \)と\( \ -Q \ \mathrm {[C]} \ \)(\( \ Q \gt 0 \ \)) の電荷が蓄えられている。誘電体\( \ 1 \ \)と誘電体\( \ 2 \ \)は平面で接しており,その境界面は極板に対して垂直である。ただし,端効果は無視できるものとする。

この平行板コンデンサにおいて,極板\( \ \mathrm {A} \ \),\( \ \mathrm {B} \ \)に平行な誘電体\( \ 1 \ \),誘電体\( \ 2 \ \)の断面をそれぞれ面\( \ \mathrm {S_{1}} \ \),面\( \ \mathrm {S_{2}} \ \)(面\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)と面\( \ \mathrm {S_{2}} \ \)の断面積は等しい)とすると,面\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)を貫く電気力線の総数(任意の点の電気力線の密度は,その点での電界の大きさを表す)は,面\( \ \mathrm {S_{2}} \ \)を貫く電気力線の総数の\( \ \fbox {  (ア)  } \ \)倍である。面\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)を貫く電束の総数は面\( \ \mathrm {S_{2}} \ \)を貫く電束の総数の\( \ \fbox {  (イ)  } \ \)倍であり,面\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)と面\( \ \mathrm {S_{2}} \ \)を貫く電束の数の総和は\( \ \fbox {  (ウ)  } \ \)である。

上記の記述中の空白箇所(ア)~(ウ)に当てはまる組合せとして,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{cccc}
& (ア) & (イ) & (ウ) \\
\hline
(1) &  1  &  \displaystyle \frac {\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{\varepsilon _{\mathrm {r2}}}  &  Q  \\
\hline
(2) &  1  &  \displaystyle \frac {\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{\varepsilon _{\mathrm {r2}}}  &  \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon _{\mathrm {r1}}}+\frac {Q}{\varepsilon _{\mathrm {r2}}}  \\
\hline
(3) &  1  &  \displaystyle \frac {\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{\varepsilon _{\mathrm {r1}}}  &  \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon _{\mathrm {r1}}}+\frac {Q}{\varepsilon _{\mathrm {r2}}}  \\
\hline
(4) &  \displaystyle \frac {\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{\varepsilon _{\mathrm {r1}}}  &  1  &  \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon _{\mathrm {r1}}}+\frac {Q}{\varepsilon _{\mathrm {r2}}}  \\
\hline
(5) &  \displaystyle \frac {\varepsilon _{\mathrm {r2}}}{\varepsilon _{\mathrm {r1}}}  &  1  &  Q  \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

電気力線と電束に関する問題です。
本問の条件においては,平行平板コンデンサ内の電界が等しくなることを公式から理解しておくようにしましょう。
近年は電気力線に関する問題が問1で出題されることが多く,確実に得点しておきたい問題と言えます。

1.電気力線の特徴
電気力線は正電荷から負電荷に向かう仮想の線で,以下のような特徴があります。言葉ではなく図で覚えておいて,内容を理解した方が良いと思います。
①電気力線の本数は電荷\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \),誘電率\( \ \varepsilon \ \mathrm {[F/m]} \ \)を用いると,\( \ \displaystyle \frac {Q}{\varepsilon } \ \)本である。
②電気力線は正電荷から垂直に出て,負電荷に垂直に入る。
③電気力線同士は反発し合う。
④電気力線は枝分かれしたり,交差したりしない。
⑤電気力線の向きは電界の向きと一致し,電気力線の密度は電界の大きさに比例する。

2.平行平板コンデンサの電界\( \ E \ \)と電圧\( \ V \ \)の関係
極板間の距離\( \ d \ \)の平行平板コンデンサに電圧\( \ V \ \)をかけると,極板間の電界\( \ E \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {V}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.平行平板コンデンサの電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)の関係
極板間の誘電率を\( \ \varepsilon \ \)とすると,電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)には,
\[
\begin{eqnarray}
D&=&\varepsilon E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

解答:(1)
(ア)
ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの電界\( \ E \ \)と電圧\( \ V \ \)の関係」の通り,誘電体\( \ 1 \ \)及び誘電体\( \ 2 \ \)内の電界\( \ E_{1} \ \)及び\( \ E_{2} \ \)は,極板間の距離を\( \ d \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}&=&\frac {V}{d} \\[ 5pt ] E_{2}&=&\frac {V}{d}=E_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,ワンポイント解説「1.電気力線の特徴」の通り,電気力線の密度と電界の大きさは比例するので,面\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)を貫く電気力線の総数は面\( \ \mathrm {S_{2}} \ \)を貫く電気力線の総数の\( \ 1 \ \)倍となる。

(イ)
ワンポイント解説「3.平行平板コンデンサの電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)の関係」の通り,誘電体\( \ 1 \ \)及び誘電体\( \ 2 \ \)内の電束密度\( \ D_{1} \ \)及び\( \ D_{2} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
D_{1}&=&\varepsilon _{\mathrm {r1}}\varepsilon _{\mathrm {0}} E_{1} \\[ 5pt ] &=& \frac {\varepsilon _{\mathrm {r1}}\varepsilon _{\mathrm {0}}V}{d} \\[ 5pt ] D_{2}&=&\varepsilon _{\mathrm {r2}}\varepsilon _{\mathrm {0}} E_{2} \\[ 5pt ] &=& \frac {\varepsilon _{\mathrm {r2}}\varepsilon _{\mathrm {0}}V}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,それぞれの電束\( \ Q_{1} \ \)及び\( \ Q_{2} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
Q_{1}&=&D_{1} S \\[ 5pt ] &=& \frac {\varepsilon _{\mathrm {r1}}\varepsilon _{\mathrm {0}}VS}{d} \\[ 5pt ] Q_{2}&=&D_{2} S \\[ 5pt ] &=& \frac {\varepsilon _{\mathrm {r2}}\varepsilon _{\mathrm {0}}VS}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,\( \ Q_{1} \ \)と\( \ Q_{2} \ \)の比は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {Q_{1}}{Q_{2}}&=&\frac {\displaystyle \frac {\varepsilon _{\mathrm {r1}}\varepsilon _{\mathrm {0}}VS}{d}}{\displaystyle \frac {\varepsilon _{\mathrm {r2}}\varepsilon _{\mathrm {0}}VS}{d}} \\[ 5pt ] &=& \frac {\varepsilon _{\mathrm {r1}}}{\varepsilon _{\mathrm {r2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(ウ)
面\( \ \mathrm {S_{1}} \ \)と面\( \ \mathrm {S_{2}} \ \)を貫く電束の数の総和は蓄えられる電荷と等しいので\( \ Q \ \)となる。