《理論》〈電磁気〉[H29:問17]磁気回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

巻数\( \ N \ \)のコイルを巻いた鉄心\( \ 1 \ \)と,空隙(エアギャップ)を隔てて置かれた鉄心\( \ 2 \ \)からなる図1のような磁気回路がある。この二つの鉄心の比透磁率はそれぞれ\( \ \mu _{r1}=2000 \ \),\( \ \mu _{r2}=1000 \ \)であり,それらの磁路の平均の長さはそれぞれ\( \ l_{1}=200 \ \mathrm {mm} \ \),\( \ l_{2}=98 \ \mathrm {mm} \ \),空隙長は\( \ \delta =1 \ \mathrm {mm} \ \)である。ただし,鉄心\( \ 1 \ \)及び鉄心\( \ 2 \ \)のいずれの断面も同じ形状とし,磁束は断面内で一様で,漏れ磁束や空隙における磁束の広がりはないものとする。このとき,次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 空隙における磁界の強さ\( \ H_{0} \ \)に対する磁路に沿った磁界の強さ\( \ H \ \)の比\( \ \displaystyle \frac {H}{H_{0}} \ \)を表すおおよその図として,最も近いものを図2の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,図1に示す\( \ x=0 \ \mathrm {mm} \ \)から時計回りに磁路を進む距離を\( \ x \ \mathrm {\left[ mm\right] } \ \)とする。また,図2は片対数グラフであり,空隙長\( \ \delta \ \mathrm {\left[ mm\right] } \ \)は実際より大きく表示している。

(b) コイルに電流\( \ I=1 \ \mathrm {A} \ \)を流すとき,空隙における磁界の強さ\( \ H_{0} \ \)を\( \ 2\times 10^{4} \ \mathrm {A/m} \ \)以上とするのに必要なコイルの最小巻数\( \ N \ \)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \(24\)  (2) \(44\)  (3) \(240\)  (4) \(4400\)  (5) \(40400\)

【ワンポイント解説】

磁気回路は電気回路とは異なり,それほど複雑な回路計算を要求しません。最初はとっつきにくい面もありますが,公式を理解し問題に慣れてしまえば確実に得点源となりますので,本問をしっかりと理解しておきましょう。

1.アンペアの周回積分の法則
環状ソレノイド内部において,コイルの巻数\( \ N \ \),電流\( \ I \ \),磁路の平均長\( \ l \ \)のとき,磁界の強さ\( \ H \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&Hl \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.磁束密度\( \ B \ \)と磁界の強さ\( \ H \ \)の関係
図1において,真空の透磁率\( \ \mu _{0} \ \),鉄心\( \ 1 \ \),\( \ 2 \ \)の比透磁率\( \ \mu _{r1} \ \),\( \ \mu _{r2} \ \),真空中の磁界の強さ\( \ H_{0} \ \),鉄心\( \ 1 \ \),\( \ 2 \ \)中の磁界の強さ\( \ H_{1} \ \),\( \ H_{2} \ \)とした時,
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\mu _{0}H_{0} \\[ 5pt ] &=&\mu _{\mathrm {r1}}\mu _{0}H_{1} \\[ 5pt ] &=&\mu _{\mathrm {r2}}\mu _{0}H_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(a)解答:(2)
鉄心1,2中の磁界の強さ\( \ H_{1} \ \),\( \ H_{2} \ \)とした時,ワンポイント解説「2.磁束密度\( \ B \ \)と磁界の強さ\( \ H \ \)の関係」より,
\[
\begin{eqnarray}
B&=&\mu _{0}H_{0}&=&\mu _{r1}\mu _{0}H_{1}&=&\mu _{r2}\mu _{0}H_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,各辺を\( \ \mu _{0} \ \)で割ると,
\[
\begin{eqnarray}
H_{0}&=&\mu _{r1}H_{1}&=&\mu _{r2}H_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため,これを整理すると,(→計算方法詳細
\[
\begin{eqnarray}
\frac {H_{1}}{H_{0}}&=&\frac {1}{\mu _{r1}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2000} \\[ 5pt ] \frac {H_{2}}{H_{0}}&=&\frac {1}{\mu _{r2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{1000} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,上式を満たすグラフは(2)となる。

(b)解答:(2)
題意より,\( \ H_{0}=20000 \ \mathrm {[A/m]} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
H_{1}&=&\frac {1}{\mu _{r1}}H_{0} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2000}\times 20000 \\[ 5pt ] &=&10 \ \mathrm {[A/m]} \\[ 5pt ] H_{2}&=&\frac {1}{\mu _{r2}}H_{0} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{1000}\times 20000 \\[ 5pt ] &=&20 \ \mathrm {[A/m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。アンペアの周回積分の法則より,
\[
\begin{eqnarray}
NI&=&H_{1}l_{1}+H_{2}l_{2}+2H_{0}\delta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,これに,\( \ I=1 \ \mathrm {A} \ \),\( \ H_{1}=10 \ \mathrm {A/m} \ \),\( \ H_{2}=20 \ \mathrm {A/m} \ \),\( \ l_{1}=200 \ \mathrm {mm} \ \),\( \ l_{2}=98 \ \mathrm {mm} \ \),\( \ \delta =1 \ \mathrm {mm} \ \)を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
N\times 1&=&10\times 200\times 10^{-3}+20\times 98\times 10^{-3}+2\times 20000\times 1\times 10^{-3} \\[ 5pt ] N&=&2+1.96+40 \\[ 5pt ] &=&43.96 → 44 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。