《理論》〈電気回路〉[H26:問16]平衡三相負荷の消費電力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

図1のように,線間電圧\(200 \ \mathrm {V}\),周波数\(50 \ \mathrm {Hz}\)の対称三相交流電源に\(1 \ \Omega \)の抵抗と誘導性リアクタンス\(\displaystyle \frac {4}{3}\Omega \)のコイルとの並列回路からなる平衡三相負荷(\(\mathrm {Y}\)結線)が接続されている。また,スイッチ\(\mathrm {S}\)を介して,コンデンサ\(\mathrm {C}\) (\(\mathrm {\Delta }\)結線) を接続することができるものとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) スイッチ\(\mathrm {S}\)が開いた状態において,三相負荷の有効電力\(P\)の値\(\mathrm {[kW]}\)と無効電力\(Q\)の値\(\mathrm {[kvar]}\)の組合せとして,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

\[
\begin{array}{ccc}
&  P  &  Q  \\
\hline
(1) &  40  &  30  \\
\hline
(2) &  40  &  53  \\
\hline
(3) &  80  &  60  \\
\hline
(4) &  120  &  90  \\
\hline
(5) &  120  &  160  \\
\hline
\end{array}
\]

(b) 図2のように三相負荷のコイルの誘導性リアクタンスを\(\displaystyle \frac {2}{3}\Omega \)に置き換え,スイッチ\(\mathrm {S}\)を閉じてコンデンサ\(\mathrm {C}\)を接続する。このとき,電源からみた有効電力と無効電力が図1の場合と同じ値になったとする。コンデンサ\(\mathrm {C}\)の静電容量の値\(\mathrm {[\mu F ]}\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \(800\)  (2) \(1200\)  (3) \(2400\)  (4) \(4800\)  (5) \(7200\)

【ワンポイント解説】

\(\mathrm {\Delta -Y}\)変換を用いる問題です。三種では不平衡負荷の\(\mathrm {\Delta -Y}\)変換が出題されることは少ないですが,非常によく出題される公式なので,確実に覚えておくようにしておきましょう。

1.リアクトルとコンデンサのリアクタンスとサセプタンス
インダクタンスが\(L \ \mathrm {[H]}\)のリアクトルと静電容量\(C \ \mathrm {[F]}\)のコンデンサの各リアクタンス\(X_{\mathrm {L}} \ [\Omega ]\)と\(X_{\mathrm {C}} \ [\Omega ]\)及び各サセプタンス\(b_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[S]}\)と\(b_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[S]}\)の大きさは,角周波数を\(\omega \ \mathrm {[rad /s]}\)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
X_{\mathrm {L}}&=&j\omega L ,b_{\mathrm {L}}=\frac {1}{j\omega C } \\[ 5pt ] X_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{j\omega C } ,b_{\mathrm {C}}=j\omega C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換と\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換
①\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換
図1において,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換
図1において,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 平衡三相回路においては,
\[
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}={\dot Z}_{\mathrm {bc}}={\dot Z}_{\mathrm {ca}}=3{\dot Z}_{\mathrm {a}}=3{\dot Z}_{\mathrm {b}}=3{\dot Z}_{\mathrm {c}}
\] となります。

【解答】

(a)解答:(1)
図1の一相分の等価回路は図4のようになる。図4より三相分の有効電力\(P\)は,
\[
\begin{eqnarray}
P &=&3\cdot \frac {V^{2}}{R} \\[ 5pt ] &=&3\cdot \frac {\displaystyle \left( \frac {200}{\sqrt {3}}\right) ^{2}}{1} \\[ 5pt ] &=&40000 \ \mathrm {[W]}  → 40 \ \mathrm {[kW]}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。また,同様に三相分の無効電力\(Q\)は,
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&3\cdot \frac {V^{2}}{X} \\[ 5pt ] &=&3\cdot \frac {\displaystyle \left( \frac {200}{\sqrt {3}}\right) ^{2}}{\displaystyle \frac {4}{3}} \\[ 5pt ] &=&30000 \ \mathrm {[W]}  → 30 \ \mathrm {[kW]}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(1)
図2において,ワンポイント解説「2.\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換と\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換」の通り,コンデンサ\(C\)を\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換すると,静電容量は\(3C\)となるから,一相分の等価回路は図5の通りとなる。
題意に沿ってベクトル図を描くと図6のようになり,図1と図2の無効電力は正負が逆になり,同じ大きさの無効電力となる。
よって,その合成インピーダンス(アドミタンス)の大きさも等しくなる。
したがって,その合成アドミタンスは,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {3}{4} &=& \frac {3}{2}-3\times 2\pi f C \\[ 5pt ] C&=&\frac {\displaystyle \frac {3}{4}}{3\times 2\pi \times 50} \\[ 5pt ] &≒&0.000796 \ \mathrm {[F]}  → 800 \ \mathrm {[\mu F]}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。