《理論》〈電気回路〉[H23:問8]交流回路の並列負荷接続による電流値の変化に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図の交流回路において，電源電圧を\( \ \dot E=140∠0° \ \mathrm {[V]} \ \)とする。いま，この電源に力率\( \ 0.6 \ \)の誘導性負荷を接続したところ，電源から流れ出る電流の大きさは\( \ 37.5 \ \mathrm {[A]} \ \)であった。次に，スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じ，この誘導性負荷と並列に抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を接続したところ，電源から流れ出る電流の大きさが\( \ 50 \ \mathrm {[A]} \ \)となった。このとき，抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の大きさとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 3.9 \ \)　　(2)　\( \ 5.6 \ \)　　(3)　\( \ 8.0 \ \)　　(4)　\( \ 9.6 \ \)　　(5)　\( \ 11.2 \ \)

【ワンポイント解説】

交流回路のベクトル図を使用した問題です。
本問のように，交流の問題は有効成分と無効成分の三平方の定理を利用した計算が多く出題されるので，\( \ 2 \ \)乗の計算や電卓の取扱いに慣れておくようにしましょう。

1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，角周波数が\( \ \omega \ \mathrm {[rad/s]} \ \)であるとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。

【解答】

解答：(3)
題意に沿ってベクトル図を描くと図4のようになる。
図4において，抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)接続前の電流\( \ I=37.5 \ \mathrm {[A]} \ \)について，電源電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)と同相成分\( \ I_{\mathrm {r}} \ \mathrm {[A]} \ \)，電源電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)から\( \ 90° \ \)遅れた電流成分\( \ I_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，誘導性負荷の力率\( \ \cos \theta =0.6 \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {r}}&=&I\cos \theta \\[ 5pt ] &=&37.5\times 0.6 \\[ 5pt ] &=&22.5 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] I_{\mathrm {i}}&=&I\sin \theta \\[ 5pt ] &=&I\sqrt {1-\cos ^{2}\theta } \\[ 5pt ] &=&37.5\times \sqrt {1-0.6^{2}} \\[ 5pt ] &=&37.5\times 0.8 \\[ 5pt ] &=&30 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また，抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)接続後，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に流れる電流\( \ I_{\mathrm {R}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {R}}&=&\frac {E}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {140}{R} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を接続した後の，電源から流れ出る電流の大きさ\( \ I^{\prime }=50 \ \mathrm {[A]} \ \)であることから，図4に三平方の定理を適用し各値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
{I^{\prime }}^{2}&=&\left( I_{\mathrm {r}}+I_{\mathrm {R}} \right) ^{2}+I_{\mathrm {i}}^{2} \\[ 5pt ] 50^{2}&=&\left( 22.5+\frac {140}{R} \right) ^{2}+30^{2} \\[ 5pt ] 2500&=&\left( 22.5+\frac {140}{R} \right) ^{2}+900 \\[ 5pt ] \left( 22.5+\frac {140}{R} \right) ^{2}&=&1600 \\[ 5pt ] 22.5+\frac {140}{R} &=&40 \\[ 5pt ] \frac {140}{R} &=&17.5 \\[ 5pt ] R &=&\frac {140}{17.5} \\[ 5pt ] &=&8 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。