《理論》〈電気回路〉[H28:問6]直並列回路の電流比に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

図のような抵抗の直並列回路に直流電圧\(E=5\mathrm{V}\)を加えたとき,電流比\(\displaystyle \frac {I_{2}}{I_{1}}\)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1) 0.1  (2) 0.2  (3) 0.3  (4) 0.4  (5) 0.5

【ワンポイント解説】

計算がやや面倒ですが,オームの法則とキルヒホッフの法則を使い,順番に丁寧に解けば,それほど難しい問題ではありません。

【解答】

解答:(1)
各部の電圧と抵抗を下図のように指定する。

上図において,\(V_{2}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{2}&=&\left( R_{4} +R_{5} \right) I_{2} \\[ 5pt ] &=&\left( 150 +200 \right) I_{2} \\[ 5pt ] &=&350 I_{2}
\end{eqnarray}
\] となる。抵抗\(R_{3}\)を流れる電流\(I_{\mathrm {R}3}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {R}3}&=&\frac {V_{2}}{R_{3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {350 I_{2}}{100} \\[ 5pt ] &=&3.5I_{2}
\end{eqnarray}
\] となる。抵抗\(R_{2}\)を流れる電流\(I_{\mathrm {R}2}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {R}2}&=&I_{\mathrm {R}3}+I_{2} \\[ 5pt ] &=&3.5I_{2}+I_{2} \\[ 5pt ] &=&4.5I_{2}
\end{eqnarray}
\] となる。電圧\(V_{1}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{1}&=&V_{2}+R_{2}I_{\mathrm {R}2} \\[ 5pt ] &=&350 I_{2}+150\times 4.5I_{2} \\[ 5pt ] &=&1025 I_{2}
\end{eqnarray}
\] となる。抵抗\(R_{1}\)を流れる電流\(I_{R1}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {R}1}&=&\frac {V_{1}}{R_{1}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1025 I_{2}}{200} \\[ 5pt ] &=&5.125 I_{2}
\end{eqnarray}
\] となる。よって,電流\(I_{1}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&I_{\mathrm {R}1}+I_{\mathrm {R}2} \\[ 5pt ] &=&5.125 I_{2}+4.5I_{2} \\[ 5pt ] &=&9.625 I_{2}
\end{eqnarray}
\] となるので,電流比\(\displaystyle \frac {I_{2}}{I_{1}}\)は,
\[
\frac {I_{2}}{I_{1}}=\frac {1}{9.625}≒0.1
\] と求められる。