《理論》〈電磁気〉[H30:問1]帯電した導体球に働く力関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，帯電した導体球に関する記述である。

真空中で導体球\(\mathrm {A}\)及び\(\mathrm {B}\)が軽い絶縁体の糸で固定点\(\mathrm {O}\)からつり下げられている。真空の誘電率を\(\varepsilon _{0} \ \mathrm {[F ／ m]}\)，重力加速度を\(g \ \mathrm {[m ／ s^{2}]}\)とする。\(\mathrm {A}\)及び\(\mathrm {B}\)は同じ大きさと質量\(m \ \mathrm {[kg]}\)をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点\(\mathrm {O}\)から距離\(l \ \mathrm {[m]}\)となる長さである。

まず，導体球\(\mathrm {A}\)及び\(\mathrm {B}\)にそれぞれ電荷\(Q \ \mathrm {[C]}\)，\(3Q \ \mathrm {[C]}\)を与えて帯電させたところ，静電力による\(\fbox {　 （ア） 　}\)が生じ，図のように\(\mathrm {A}\)及び\(\mathrm {B}\)の中心点間が\(d \ \mathrm {[m]}\)離れた状態で釣り合った。ただし，導体球の直径は\(d\)に比べて十分に小さいとする。このとき，個々の導体球において，静電力\(F=\fbox {　 （イ） 　} \ \mathrm {[N]}\)，重力\(mg \ \mathrm {[N]}\)，糸の張力\(T \ \mathrm {[N]}\)，の三つの力が釣り合っている。三平方の定理より\(F^{2}+\left( mg \right) ^{2}=T^{2}\)が成り立ち，張力の方向を考えると\(\displaystyle \frac {F}{T}\)は\(\displaystyle \frac {d}{2l}\)に等しい。これらより\(T\)を消去し整理すると，\(d\)が満たす式として，
\[
\begin{eqnarray}
k\left( \frac {d}{2l}\right) ^{3}&=&\sqrt {1-\left( \frac {d}{2l}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が導かれる。ただし，係数\(k=\fbox {　 （ウ） 　}\)である。

次に，\(\mathrm {A}\)と\(\mathrm {B}\)とを一旦接触させたところ\(\mathrm {AB}\)間で電荷が移動し，同電位となった。そして\(\mathrm {A}\)と\(\mathrm {B}\)とが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ，距離\(d\)は\(\fbox {　 （エ） 　}\)した。

上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)，(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

\[
\begin{array}{ccccc}
& （ア） & （イ） & （ウ） & （エ） \\
\hline
(1) & 反発力 & \displaystyle \frac {3Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} d^{2}} & \displaystyle \frac {16\pi \varepsilon _{0} l^{2}mg}{3Q^{2}} & 増加 \\
\hline
(2) & 吸引力 & \displaystyle \frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} d^{2}} & \displaystyle \frac {4\pi \varepsilon _{0} l^{2}mg}{Q^{2}} & 増加 \\
\hline
(3) & 反発力 & \displaystyle \frac {3Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} d^{2}} & \displaystyle \frac {4\pi \varepsilon _{0} l^{2}mg}{Q^{2}} & 増加 \\
\hline
(4) & 反発力 & \displaystyle \frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} d^{2}} & \displaystyle \frac {16\pi \varepsilon _{0} l^{2}mg}{3Q^{2}} & 減少 \\
\hline
(5) & 吸引力 & \displaystyle \frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0} d^{2}} & \displaystyle \frac {4\pi \varepsilon _{0} l^{2}mg}{Q^{2}} & 減少 \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

クーロンの法則を基本とした計算問題です。(ア)，(イ)，(エ)は標準的な問題ですが，(ウ)の計算がやや面倒な問題です。(ア)，(イ)，(エ)が分かっても(ウ)が分からなければ選択肢は一つに絞れないので，やや難しめの問題であると思います。

1.クーロンの法則
真空中で距離\(r\)離れた二つの電荷\(Q_{\mathrm {A}}\)，\(Q_{\mathrm {B}}\)に加わる力\(F\)は，真空の誘電率を\(\varepsilon _{0}\)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&\frac {Q_{\mathrm {A}}Q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答：(1)
(ア)
題意より各導体球に与えられている電荷はともに＋なので反発力となる。

(イ)
ワンポイント解説「1.クーロンの法則」の法則より，各導体球に働く静電力\(F\)は，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&\frac {Q\times 3Q}{4\pi \varepsilon _{0}d^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}d^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。このとき，静電力\(F\)，重力\(mg\)，張力\(T\)は図1のように描ける。

(ウ)
図1より，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {F}{T} &=&\frac {\frac {d}{2}}{l} \\[ 5pt ] &=&\frac {d}{2l} \\[ 5pt ] T&=&\frac {2l}{d}F
\end{eqnarray}
\] であるから，これを\(F^{2}+\left( mg \right) ^{2}=T^{2}\)の式に整理して代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
F^{2}+\left( mg \right) ^{2} &=&T^{2} \\[ 5pt ] \left( \frac {F}{T}\right) ^{2} +\left( \frac {mg}{T}\right) ^{2}&=&1 \\[ 5pt ] \left( \frac {d}{2l}\right) ^{2} +\left( \frac {mgd}{2lF}\right) ^{2}&=&1 \\[ 5pt ] \left( \frac {mgd}{2lF}\right) ^{2}&=&1-\left( \frac {d}{2l}\right) ^{2} \\[ 5pt ] \frac {mgd}{2lF}&=&\sqrt {1-\left( \frac {d}{2l}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \frac {mgd}{2l}\cdot \frac {4\pi \varepsilon _{0}d^{2}}{3Q^{2}}&=&\sqrt {1-\left( \frac {d}{2l}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \frac {4\pi \varepsilon _{0}mg}{3Q^{2}}\cdot \frac {d^{3}}{2l}&=&\sqrt {1-\left( \frac {d}{2l}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \frac {16\pi \varepsilon _{0}l^{2}mg}{3Q^{2}}\cdot \left( \frac {d}{2l}\right) ^{3}&=&\sqrt {1-\left( \frac {d}{2l}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，\(\displaystyle k=\frac {16\pi \varepsilon _{0}l^{2}mg}{3Q^{2}}\)と求められる。（←補足説明)

(エ)
一旦接触させると，導体球\(\mathrm {B}\)から導体球\(\mathrm {A}\)に電荷が移動し，両方の電荷が等しくなり，共に\(2Q\)となる。よって，\(\mathrm {AB}\)間の距離が\(d^{\prime }\)になったとすると，ワンポイント解説「1.クーロンの法則」より，各導体球に働く静電力\(F\)は，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&\frac {2Q\times 2Q}{4\pi \varepsilon _{0}{d^{\prime }}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {4Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}{d^{\prime }}^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，(イ)の解答と比較すると\(d^{\prime } ＞ d\)とならなければ釣り合わないので，距離は増加する。