《理論》〈電気回路〉[R3:問6]直流安定化電源を利用した制御に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

直流の出力電流又は出力電圧が常に一定の値になるように制御された電源を直流安定化電源と呼ぶ。直流安定化電源の出力電流や出力電圧にはそれぞれ上限値があり,一定電流(定電流モード)又は一定電圧(定電圧モード)で制御されている際に負荷の変化によってどちらかの上限値を超えると,定電流モードと定電圧モードとの間で切り替わる。

図のように,直流安定化電源(上限値:\( \ 100 \ \mathrm {A} \ \),\( \ 20 \ \mathrm {V} \ \)),三つの抵抗(\( \ R_{1}=R_{2}=0.1 \ \mathrm {\Omega } \ \),\( \ R_{3}=0.8 \ \mathrm {\Omega } \ \)),二つのスイッチ(\( \ \mathrm {SW_{1}} \ \),\( \ \mathrm {SW_{2}} \ \))で構成されている回路がある。両スイッチを閉じ,回路を流れる電流\( \ I=100 \ \mathrm {A} \ \)の定電流モードを維持している状態において,時刻\( \ t=t_{1} \ \mathrm {[s]} \ \)で\( \ \mathrm {SW_{1}} \ \)を開き,時刻\( \ t=t_{2} \ \mathrm {[s]} \ \)で\( \ \mathrm {SW_{2}} \ \)を開くとき,\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の波形として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。


【ワンポイント解説】

直流安定化電源を使用した回路に関する問題です。
特別な知識を必要としませんが,問題の読解力が試される問題となっています。

1.合成抵抗
抵抗\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)が与えられている時,それぞれの合成抵抗\( \ R \ \)は以下の式で与えられます。

①直列
直列合成抵抗\( \ R \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
R&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②並列
並列合成抵抗\( \ R \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答:(2)
①\( \ t \lt t_{1} \ \)のとき
\( \ \mathrm {SW_{1}} \ \),\( \ \mathrm {SW_{2}} \ \)がともに閉じられ,\( \ R_{2} \ \)と\( \ R_{3} \ \)が短絡されているので,図1のように電流が流れる。
したがって,このときの電源電圧\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{1}&=&R_{1}I \\[ 5pt ] &=&0.1\times 100 \\[ 5pt ] &=&10 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,直流安定化電源の上限値を超えないため,電源を流れる電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は\( \ I=100 \ \mathrm {[A]} \ \)と求められる。

②\( \ t_{1} \leqq t \lt t_{2} \ \)のとき
\( \ \mathrm {SW_{1}} \ \)を開き,\( \ \mathrm {SW_{2}} \ \)が閉じたままなので,図2のように電流が流れる。
このときの電源電圧\( \ V_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{2}&=&\left( R_{1}+R_{2} \right) I \\[ 5pt ] &=&\left( 0.1+0.1 \right) \times 100 \\[ 5pt ] &=&20 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,直流安定化電源の上限値を超えないため,電源を流れる電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は\( \ I=100 \ \mathrm {[A]} \ \)と求められる。

③\( \ t = t_{2} \ \)でスイッチ\( \ \mathrm {SW_{2}} \ \)を開いた直後
図3のように電流が流れ,このときの電源電圧\( \ V_{3} \ \mathrm {[V]} \ \)が,
\[
\begin{eqnarray}
V_{2}&=&\left( R_{1}+R_{2}+R_{3} \right) I \\[ 5pt ] &=&\left( 0.1+0.1+0.8 \right) \times 100 \\[ 5pt ] &=&100 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,直流安定化電源の電圧上限値を超過してしまうので,定電圧モードに切り替わる。

④\( \ t \gt t_{2} \ \)のとき
電源が定電圧モードすなわち\( \ V=20 \ \mathrm {[V]} \ \)の電圧源になるので,電源を流れる電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {V}{R_{1}+R_{2}+R_{3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {20}{0.1+0.1+0.8} \\[ 5pt ] &=&20 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

以上から,電源を流れる電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の波形は(2)となる。