《理論》〈電気回路〉[R01:問9]RLC並列回路の角周波数変化に対する電流値の変動に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

図は,実効値が\( \ 1 \ \mathrm {V} \ \)で角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[krad/s ]} \ \)が変化する正弦波交流電源を含む回路である。いま,\( \ \omega \ \)の値が\( \ \omega _{1} = 5 \mathrm {krad/s } \ \),\( \ \omega _{2} = 10 \mathrm {krad/s } \ \),\( \ \omega _{3} = 30 \mathrm {krad/s } \ \)と3通りの場合を考え,\( \ \omega =\omega _{\mathrm {k}}\left( k=1,2,3\right) \ \)のときの電流\( \ i \ \mathrm {[A]} \ \)の実効値を\( \ I_{\mathrm {k}} \ \)と表すとき,\( \ I_{1} \ \),\( \ I_{2} \ \),\( \ I_{3} \ \)の大小関係として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \(I_{1}<I_{2}<I_{3}\)  (2) \(I_{1}=I_{2}<I_{3}\)  (3) \(I_{2}<I_{1}<I_{3}\)
 (4) \(I_{2}<I_{1}=I_{3}\)  (5) \(I_{3}<I_{2}<I_{1}\)

【ワンポイント解説】

それぞれ真面目に電流値を求めても導出することができますが,試験時間を考慮すると,できるだけ計算量の少ない方法を選択するのが良いと思います。本問の場合はインピーダンスではなくアドミタンスを使用する,共振条件を利用する方法が最も早く正答を導き出せると思います。

1.直列回路の共振条件
共振条件は電圧と電流が同位相になる状態で,回路のリアクタンスが零になる状態のことを言います。\( \ RLC \ \)直列回路のリアクタンスの共振条件は,角周波数を\( \ \omega =2\pi f \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {j}\omega L +\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&0 \\[ 5pt ] \mathrm {j}\left( \omega L -\frac {1}{\omega C}\right) &=& 0 \\[ 5pt ] \omega L &=& \frac {1}{\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の時共振となり,その共振角周波数と共振周波数は,上式を\( \ \omega \ \)について整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
\omega ^{2}&=&\frac {1}{LC} \\[ 5pt ] \omega &=&\frac {1}{\sqrt {LC}} \\[ 5pt ] f &=&\frac {1}{2\pi \sqrt {LC}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

2.並列回路の共振条件
共振条件は電圧と電流が同位相になる状態で,回路のサセプタンスが零(リアクタンスが無限大)になる状態のことを言います。\( \ RLC \ \)並列回路の共振条件は,角周波数を\( \ \omega =2\pi f \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {j}\omega C +\frac {1}{\mathrm {j}\omega L}&=&0 \\[ 5pt ] \mathrm {j}\left( \omega C -\frac {1}{\omega L}\right) &=& 0 \\[ 5pt ] \omega C &=& \frac {1}{\omega L} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の時共振となり,その共振角周波数と共振周波数は,
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {1}{\sqrt {LC}} \\[ 5pt ] f &=&\frac {1}{2\pi \sqrt {LC}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

解答:(3)
問題図のアドミタンス\( \ \dot Y \ \)とその大きさ\( \ Y \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\dot Y &=&\frac {1}{R}+\mathrm {j}\left( \omega C -\frac {1}{\omega L}\right) \\[ 5pt ] Y &=&\sqrt {\left( \frac {1}{R}\right) ^{2}+\left( \omega C -\frac {1}{\omega L}\right) ^{2} } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,電流\( \ I \ \)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
I &=&VY \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,アドミタンス\( \ Y \ \)が大きければ大きいほど電流\( \ I \ \)は大きくなる。さらにアドミタンスの抵抗分は角周波数によって変化しないので,\( \ \displaystyle \omega C -\frac {1}{\omega L} \ \)の絶対値が大きければ大きいほど電流値が大きくなる。ワンポイント解説「2.並列回路の共振条件」より,アドミタンスが最小となる共振角周波数\( \ \omega _{\mathrm {r}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {r}} &=&\frac {1}{\sqrt {LC}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{\sqrt {1\times 10^{-3}\times 10\times 10^{-6}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{\sqrt {10^{-8}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{10^{-4}} \\[ 5pt ] &=&10^{4} \ \mathrm {[rad/s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,\( \ I_{2} \ \)が最小となることが分かる。\( \ \omega _{1} \ \)及び\( \ \omega _{3} \ \)の時の\( \ \displaystyle \omega C -\frac {1}{\omega L} \ \)の絶対値を求めると,
\[
\begin{eqnarray}
\left| \omega _{1} C -\frac {1}{\omega _{1} L}\right| &=&\left| 5\times 10^{3}\times 10\times 10^{-6}-\frac {1}{5\times 10^{3}\times 1\times 10^{-3}}\right| \\[ 5pt ] &=&\left| 5\times 10^{-2}-\frac {1}{5}\right| \\[ 5pt ] &=&0.15 \\[ 5pt ] \left| \omega _{3} C -\frac {1}{\omega _{3} L}\right| &=&\left| 30\times 10^{3}\times 10\times 10^{-6}-\frac {1}{30\times 10^{3}\times 1\times 10^{-3}}\right| \\[ 5pt ] &=&\left| 0.3-\frac {1}{30}\right| \\[ 5pt ] &≒&0.267 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,\( \ I_{1}<I_{3} \ \)となることが分かる。よって,\(I_{2}<I_{1}<I_{3}\)と求められる。