《理論》〈電気回路〉[R2:問5]電線の抵抗の大きさに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

次に示す,\( \ \mathrm {A} \ \),\( \ \mathrm {B} \ \),\( \ \mathrm {C} \ \),\( \ \mathrm {D} \ \)の四種類の電線がある。いずれの電線もその長さは\( \ 1 \ \mathrm {km} \ \)である。この四つの電線の直流抵抗値をそれぞれ\( \ R_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),\( \ R_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),\( \ R_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),\( \ R_{\mathrm {D}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とする。\( \ R_{\mathrm {A}}~R_{\mathrm {D}} \ \)の大きさを比較したとき,その大きさの大きい順として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,\( \ \rho \ \)は各導体の抵抗率とし,また,各電線は等断面,等質であるとする。

 \( \ \mathrm {A} \ \):断面積が\( \ 9\times 10^{-5} \ \mathrm {m^{2}} \ \)の鉄(\( \ \rho =8.90\times 10^{-8} \ \mathrm {\Omega \cdot m } \ \))でできた電線
 \( \ \mathrm {B} \ \):断面積が\( \ 5\times 10^{-5} \ \mathrm {m^{2}} \ \)のアルミニウム(\( \ \rho =2.50\times 10^{-8} \ \mathrm {\Omega \cdot m } \ \))でできた電線
 \( \ \mathrm {C} \ \):断面積が\( \ 1\times 10^{-5} \ \mathrm {m^{2}} \ \)の銀(\( \ \rho =1.47\times 10^{-8} \ \mathrm {\Omega \cdot m } \ \))でできた電線
 \( \ \mathrm {D} \ \):断面積が\( \ 2\times 10^{-5} \ \mathrm {m^{2}} \ \)の銅(\( \ \rho =1.55\times 10^{-8} \ \mathrm {\Omega \cdot m } \ \))でできた電線

(1) \( \ R_{\mathrm {A}}>R_{\mathrm {C}}>R_{\mathrm {D}}>R_{\mathrm {B}} \ \)
(2) \( \ R_{\mathrm {A}}>R_{\mathrm {D}}>R_{\mathrm {C}}>R_{\mathrm {B}} \ \)
(3) \( \ R_{\mathrm {B}}>R_{\mathrm {D}}>R_{\mathrm {C}}>R_{\mathrm {A}} \ \)
(4) \( \ R_{\mathrm {C}}>R_{\mathrm {A}}>R_{\mathrm {D}}>R_{\mathrm {B}} \ \)
(5) \( \ R_{\mathrm {D}}>R_{\mathrm {C}}>R_{\mathrm {A}}>R_{\mathrm {B}} \ \)

【ワンポイント解説】

抵抗率と抵抗の公式を知っていれば問題なく解ける問題であると思います。
導体の断面積と長さのどちらが分母及び分子に来るかわからなくなるケースが多いので注意して下さい。イメージとしては電流を水におきかえ水のホースとして,ホースの断面積が大きい方が水は流れやすく,ホースの長さが長い方が流れにくい,ということからも感覚的にわかると思います。

1.導体の抵抗率及び導電率
導体の断面積\( \ 1 \ \mathrm {m^{2}} \ \),長さ\( \ 1 \ \mathrm {m} \ \)あたりの抵抗値を抵抗率\( \ \rho \ \mathrm {[\Omega \cdot m ]} \ \)といい,導体材料の電流の流れにくさを示す指標となります。また,抵抗率の逆数を導電率\( \ \sigma \ \mathrm {[S/m ]} \ \)といい,導体材料の電流の流れやすさの指標となります。この導体における断面積\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \),長さ\( \ l \ \mathrm {[m]} \ \)の抵抗値\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
R &=&\frac {\rho l}{S}=\frac {l}{\sigma S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

解答:(4)
ワンポイント解説「1.導体の抵抗率及び導電率」の公式
\[
\begin{eqnarray}
R &=&\frac {\rho l}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] に各値を代入すれば良い。それぞれ,
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {A}} &=&\frac {\rho _{\mathrm {A}} l_{\mathrm {A}}}{S_{\mathrm {A}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {8.90\times 10^{-8}\times 1\times 10^{3}}{9\times 10^{-5}} \\[ 5pt ] &≒&0.989 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {B}} &=&\frac {\rho _{\mathrm {B}} l_{\mathrm {B}}}{S_{\mathrm {B}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {2.50\times 10^{-8}\times 1\times 10^{3}}{5\times 10^{-5}} \\[ 5pt ] &=&0.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {C}} &=&\frac {\rho _{\mathrm {C}} l_{\mathrm {C}}}{S_{\mathrm {C}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1.47\times 10^{-8}\times 1\times 10^{3}}{1\times 10^{-5}} \\[ 5pt ] &=&1.47 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {D}} &=&\frac {\rho _{\mathrm {D}} l_{\mathrm {D}}}{S_{\mathrm {D}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1.55\times 10^{-8}\times 1\times 10^{3}}{2\times 10^{-5}} \\[ 5pt ] &=&0.775 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,大きい順に並べると,\( \ R_{\mathrm {C}}>R_{\mathrm {A}}>R_{\mathrm {D}}>R_{\mathrm {B}} \ \)となる。