《理論》〈電子理論〉[R4上:問12]電子の運動エネルギーに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

真空中において,電子の運動エネルギーが\( \ 400 \ \mathrm {eV} \ \)のときの速さが\( \ 1.19\times 10^{7} \ \mathrm {m / s} \ \)であった。電子の運動エネルギーが\( \ 100 \ \mathrm {eV} \ \)のときの速さ\( \ \mathrm {[m / s]} \ \)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

ただし,電子の相対性理論効果は無視するものとする。

 (1) \( \ 2.98\times 10^{6} \ \)  (2) \( \ 5.95\times 10^{6} \ \)  (3) \( \ 2.38\times 10^{7} \ \)
 (4) \( \ 2.98\times 10^{9} \ \)  (5) \( \ 5.95\times 10^{9} \ \)  

【ワンポイント解説】

電子の運動エネルギーに関する問題です。
この問題の最大のカギは単位\( \ \mathrm {[eV]} \ \)を理解しているかどうかです。
\( \ \mathrm {[eV]} \ \)は一見電圧の単位に見えるかもしれませんが,きちんと中身を理解しておくようにしましょう。

1.物体の運動エネルギー(力学)
質量\( \ m \ \mathrm {[kg]} \ \)の物体が,速度\( \ v \ \mathrm {[m/s]} \ \)で運動しているときの運動エネルギー\( \ K \ \mathrm {[J]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
K &=&\frac {1}{2}mv^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.電子ボルト(エレクトロンボルト)
電子の電荷\( \ e \ \mathrm {[C]} \ \)が真空中で\( \ 1 \ \mathrm {[V]} \ \)をかけたときに加速されるときのエネルギーを\( \ 1 \ \mathrm {[eV]} \ \)と定義した単位となります。
したがって,電気素量\( \ e≒1.602\times 10^{-19} \ \mathrm {[C]} \ \)であることから,エネルギーの単位\( \ \mathrm {[J]} \ \)と比較すると,
\[
\begin{eqnarray}
1 \ \mathrm {[J]} &≒&1.602\times 10^{-19} \ \mathrm {[eV]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

解答:(2)
ワンポイント解説「1.物体の運動エネルギー(力学)」の通り,運動エネルギーは速さの\( \ 2 \ \)乗に比例するので,運動エネルギー変化前後の速度をそれぞれ\( \ v_{1} \ \mathrm {[m / s]} \ \),\( \ v_{2} \ \mathrm {[m / s]} \ \)とし,そのときの運動エネルギーをそれぞれ\( \ K_{1} \ \mathrm {[eV]} \ \),\( \ K_{2} \ \mathrm {[eV]} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {K_{2}}{K_{1}} &=&\frac {\displaystyle \frac {1}{2}mv_{2}^{2}\times \frac {1}{1.602\times 10^{-19}}}{\displaystyle \frac {1}{2}mv_{1}^{2}\times \frac {1}{1.602\times 10^{-19}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {v_{2}^{2}}{v_{1}^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係がある。電子の運動エネルギーが\( \ K_{1}=400 \ \mathrm {[eV]} \ \)のとき\( \ v_{1}=1.19\times 10^{7} \ \mathrm {[m / s]} \ \)であるから,電子の運動エネルギーが\( \ K_{2}=100 \ \mathrm {[eV]} \ \)のときの速度\( \ v_{2} \ \mathrm {[m / s]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {K_{2}}{K_{1}} &=&\frac {v_{2}^{2}}{v_{1}^{2}} \\[ 5pt ] v_{2}^{2} &=&v_{1}^{2}\frac {K_{2}}{K_{1}} \\[ 5pt ] v_{2} &=&v_{1}\sqrt {\frac {K_{2}}{K_{1}}} \\[ 5pt ] &=&1.19\times 10^{7}\times \sqrt {\frac {100}{400}} \\[ 5pt ] &=&1.19\times 10^{7}\times \frac {1}{2} \\[ 5pt ] &≒&5.95\times 10^{6} \ \mathrm {[m / s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。