《理論》〈電気回路〉[H24:問8]交流回路の供給電力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図のように，正弦波交流電圧\( \ E=200 \ \mathrm {[V]} \ \)の電源がインダクタンス\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)のコイルと\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗との直列回路に電力を供給している。回路を流れる電流が\( \ I=10 \ \mathrm {[A]} \ \)，回路の無効電力が\( \ Q=1200 \ \mathrm {[var]} \ \)のとき，抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の値として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 4 \ \)　　(2)　\( \ 8 \ \)　　(3)　\( \ 12 \ \)　　(4)　\( \ 16 \ \)　　(5)　\( \ 20 \ \)

【ワンポイント解説】

交流で直列の問題なので，まずベクトル図を描くことが重要となります。電圧と電流でベクトル図を描いても解けそうですが，無効電力が与えられていて，電源の電圧と電流が与えられているので，電力のベクトル図を描く方がより速く解けると思います。

1.皮相電力，有効電力，無効電力
図1のような電圧\( \ V \ \)，電流\( \ I \ \)，電圧と電流の位相差が\( \ \theta \ \)(電流が遅れ)のベクトル図が与えられている時，皮相電力\( \ S \ \)，有効電力\( \ P \ \)，無効電力\( \ Q \ \)は図2のように描くことができ，それぞれの大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&VI \\[ 5pt ] P &=&VI\cos \theta \\[ 5pt ] Q &=&VI\sin \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また，\( \ \cos \theta \ \)を力率と呼びます。
また，回路の抵抗が\( \ R \ \)，リアクタンスが\( \ X \ \)であるとき，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&RI^{2} \\[ 5pt ] Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

解答：(4)
電源の電圧\( \ E=200 \ \mathrm {[V]} \ \)，回路を流れる電流\( \ I=10 \ \mathrm {[A]} \ \)なので，皮相電力\( \ S \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&EI \\[ 5pt ] &=&200\times 10 \\[ 5pt ] &=&2000 \ \mathrm {[V\cdot A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，電力のベクトル図は図3のように描け，有効電力\( \ P \ \)の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\sqrt {S^{2}-Q^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {2000^{2}-1200^{2}} \\[ 5pt ] &=&1600 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，抵抗\( \ R \ \)の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
R &=&\frac {P}{I^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1600}{10^{2}} \\[ 5pt ] &=&16 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。