《理論》〈電気回路〉[R05上:問7]温度により抵抗値が変化する抵抗を含む回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図の回路において，スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じ，直流電源から金属製の抵抗に電流を流したとき，発熱により抵抗の温度が\( \ 120 \ ℃ \ \)になった。スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じた直後に回路を流れる電流に比べ，抵抗の温度が\( \ 120 \ ℃ \ \)になったときに回路を流れる電流は，どのように変化するか。最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，スイッチ\( \ \mathrm {S} \ \)を閉じた直後の抵抗の温度は\( \ 20 \ ℃ \ \)とし，抵抗の温度係数は一定で\( \ 0.005 \ ℃^{-1} \ \)とする。また，直流電源の起電力の大きさは温度によらず一定とし，直流電源の内部抵抗は無視できるものとする。

　(1)　変化しない　　(2)　\( \ 50 \ ％ \ \)増加　　(3)　\( \ 33 \ ％ \ \)減少　　(4)　\( \ 50 \ ％ \ \)減少　　(5)　\( \ 33 \ ％ \ \)増加

【ワンポイント解説】

抵抗温度係数を絡めた電流値の比較に関する問題です。
抵抗温度係数の抵抗値の導出式は与えられる場合も多いですが，前回の令和4年下期問7にも出題され，その際にも与えられなかったので，今後は与えられないことがスタンダードであると考えると良いかと思います。

1.抵抗温度係数
基準温度\( \ t_{1} \ \mathrm {[℃]} \ \)における抵抗値が\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗温度係数が\( \ \alpha \ \mathrm {[℃^{-1}]} \ \)の抵抗器があるとき，温度\( \ t_{2} \ \mathrm {[℃]} \ \)における抵抗値\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{2}&=&R_{1}\left\{ 1+\alpha \left( t_{2}-t_{1}\right) \right\} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

解答：(3)
基準温度\( \ t_{1}=20 \ \mathrm {[℃]} \ \)における抵抗値を\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，\( \ t_{2}=120 \ \mathrm {[℃]} \ \)における抵抗値\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，抵抗温度係数\( \ \alpha =0.005 \ \mathrm {[℃^{-1}]} \ \)であるから，ワンポイント解説「1.抵抗温度係数」より，
\[
\begin{eqnarray}
R_{2}&=&R_{1}\left\{ 1+\alpha \left( t_{2}-t_{1}\right) \right\} \\[ 5pt ] &=&R_{1}\left\{ 1+0.005 \times \left( 120-20\right) \right\} \\[ 5pt ] &=&1.5R_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。電源電圧を\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ t_{1}=20 \ \mathrm {[℃]} \ \)及び\( \ t_{2}=120 \ \mathrm {[℃]} \ \)における電流値を\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)及び\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {I_{2}}{I_{1}}&=&\frac {\displaystyle \frac {E}{R_{2}}}{\displaystyle \frac {E}{R_{1}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{1}}{R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{1}} {1.5R_{1}}\\[ 5pt ] &≒&0.667 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，電流値は\( \ 33 \ \mathrm {％} \ \)減少することになる。